连续频域分析2

《连续频域分析2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数字信号处理解焱陆北京语言大学信息科学学院课程目录§第一章信号与系统的时域分析§第二章时域连续信号的频域分析§第三章时域离散信号的频域分析§第四章离散傅里叶变换§第五章快速傅里叶变换§第六章数字滤波器时域连续信号的频域分析§引言§周期信号的频谱分析——傅里叶级数§非周期信号的频谱分析—傅里叶变换§傅里叶变换的基本性质§周期信号的傅里叶变换§抽样信号的傅里叶变换傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了信号时域和频域描述的一一对应关系，信号在一个域中所具有的特性，必然在另一个域中有其相对应的特性存在，当在某个

2、域中分析发生困难时，利用傅里叶变换的性质可以转换到另一个域中进行分析计算；另外，根据定义来求取傅里叶正、逆变换时，不可避免地会遇到繁杂的积分或不满足绝对可积而可能出现广义函数的麻烦。傅里叶变换有许多重要的性质，熟练地利用这些性质对求取f(t)的傅里叶变换或从F(јω)求取f(t)的逆变换，将带来很大的方便，同时在分析信号通过系统时也能使运算大大的简化。1.线性性质FF若f11()tF←⎯→()jω，f22()tF←⎯→()jω，且设a1,a2为常数，则有：Faftaft()+←()⎯→+aFj()ωa

3、Fj()ω11221122线性性质包括：比例性FF[()aft]=a[()ft]可加性FF[()f12t+f()]t=+[()]f1tF[()]f2t这个性质虽然简单，但很重要，它是频域分析的基础。由傅里叶变换的定义很容易证明出来，显然傅里叶变换是一种线性运算，它满足叠加原理。§例利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的傅里叶变换。111解：Qut()=+[1sgn()]t=+sgn()t22211ℱℱ[()]ut=[]+ℱ[sgn()]t221121=⋅2()πδω+⋅=πδω()+22jjωω【例

4、】求图(a)所示信号f(t)的傅里叶变换F(jω)。t【解】：将f(t)看成为如图(b)所示门信号Π()和如图(c)所示门信号2的叠加，然后应用门信号的傅里叶变换及线性性质，就可以简便地求得F(јω)。即ttωτft()=Π()+Π()Π()tc↔τsin()242tFtFΠ←()⎯→2sin()cωΠ←()⎯→4sin(2)cω24由线性性质可得Fj(ω)=+2sinc(ωω)4sinc(2)xt()21t−11−22xt()[(1)=ut+−−++−−ut(1)][(2)utut(2)]Xcc()

5、ω=2[sin()ωω+2sin(2)]πω2.对称性质信号时域和频域的表达式之间，存在着对称性。例如直流信号的频谱是冲激信号，而冲激信号的频谱是直流信号等等。傅里叶变换之所以存在有对称性，其基本原因在于傅里叶变换及其逆变换的定义式之间在形式上是对称的。说的更具体一点，两个积分式对变量t和ω来说是对称的。由傅里叶逆变换式：1∞-1jtωf()tF==F[()]jω∫F()ejωωd2π−∞如果对式中变量t进行置换，令t=-t，则可以求得1∞−jtωf()−=tF∫()ejωdω2π−∞若再将式中的变量

6、t和ω互换，则有1∞−jtωf()−=ω∫F()jtdet2π−∞1∞jt1∞ftFj−ωd−jtω()−=∫()eωωf()−=ω∫F()jtdet2π−∞2π−∞因此，我们可以将傅里叶变换的对称性表述如下：FF如果f()tF←⎯→()jω则Ft()←⎯→−2πf()ω简单地说，所谓对称性，就是在傅里叶变换对中，时域信号中的独立变量t和频域信号中的独立变量ω之间存在着某种互换性。对称性§例如，2()t1sgn()t↔δ↔jΩ§有112()↔πδω↔−jπsgn()ωt直流和冲激函数的频谱的对称性δ(

7、t)x()t11ttX()ωX()ω12()πδωωω对称性对称性§利用对称性，可以将求傅里叶反变换的问题转化成求傅里叶变换来进行。§例若信号f(t)的傅里叶变换为⎧⎪22πAωττ⎩§试求其反变换f()t。对称性§解：将中F()jωω的换成t，有⎧⎪22πAt<τFjt()=⎨⎪02t>τ⎩根据对称性，它的傅里叶变换为Fjt()2()↔πf−ω对称性§由于ωτΠ()tc↔τsin()2故ωτFjt()2↔πτAsin()c2所以1ωττtf()t==[2πτAcsin()]

8、

9、Acτsin()ω=−t22π2【例】若信号f(t)的傅里叶变换为矩形脉冲F(jωω)=+−−uWuW()(ω)tFωτΠ←()⎯→τsin()c利用对称性质求信号f(t)的表达式。τ2【解】：已知，矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个抽样函数（辛F格函数），即utWutW()()2+−−←⎯→WsincW()ωFutWutW()()2FWsincW()Ft()←⎯→−2πf()ω+−−←⎯→ω利用对称性，将上式中的ω换成t，而将t换成-ω，F2sin()W