2013年全国中考数学压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)

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1、2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）【2013·广州·24题】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.（1）当OC=时，求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）解：（1）连接OD。∵AB是⊙O的直

2、径，AB=4∴OA=OB=OD=2∴OD2=4∵OA=CD∴CD=2∴CD2=4∵OC=∴OC2=8∵OC2=OD2+CD2∴△ODC是直角三角形，且∠ODC=90°∴OD⊥CD∴CD是⊙O的切线（2）①连接OE、OD。∵D为CE的中点∴DE=CD∵CD=OA=2，OA=OD=OE∴DE=OD=OE=2∴△ODE是等边三角形∴∠DOE=∠ODE=60°∵CD=OD=2∴∠DOC=∠OCD∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60°∴∠DOC=∠OCD=30°过点D作DF⊥OC于F则OF=CF=OD·cos∠DOC=2×=∴OC=OF+CF=2∵∠DOC=30°，∠

3、DOE=60°∴∠AOE=90°∴AE==∴△ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA=+2+2+2+2=+2+6②存在四边形AODE为梯形。由题意知，当OD∥AE时，四边形AODE为梯形。由对称性知，存在两个这样的梯形，即在AC的上下方各一个。∵OD∥AE∴∠DOC=∠EAO∵△ODC、△AOE是等腰三角形又OA=OE=OD=CD=2∴△ODC≌△AOE∴OC=AE设OC=AE=m(m＞)，则AC=m+2∵OD∥AE∴∴，即m2-2m-4=0解得m=或(舍去)∴AE=∵∠DOC=∠EAO=∠OCD∴CE=AE∴ED=CE-CD=AE-CD=-2=∴AE·

4、ED=()()=42013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）【2013·广州·25题】已知抛物线y1=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用a、c表示b;（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C()，求当x≥1时y1的取值范围。2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）解：（1）∵抛物线过点A（1，0）∴a+b+c=0∴b=-a-c（2）点B在第四象限。理由如下：当y1=0时，a

5、x2+bx+c=0由韦达定理得，x1·x2=∵a≠c∴x1·x2≠1∵抛物线过点A（1，0）∴1是方程的根，令x1=1∴x2≠1∴抛物线与x轴有两个交点∵抛物线不经过第三象限∴抛物线开口向上，即a＞0∴顶点B在第四象限（3）∵点C在抛物线上∴b+8=a·()2+b·+c==∴b=-8∴a+c=8……①∵点C在直线y2=2x+m上∴m=-∵顶点B的坐标为（-，）即B（，），且在直线y2上∴=-……②由①②解方程组得：或∵a≠c∴a=2，c=6∴抛物线的解析式为y1=2x2-8x+6易知A（1，0）和C（3，0）是抛物线与x轴的交点，顶点B坐标为（2，-2）∵抛

6、物线开口向上∴当x≥1时，y1的取值范围为y1≥-22013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）【2013·福州·21题】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=，AD=（1）求与的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求的最小值。2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）解：（1）过点A作AE⊥BC于E。∵∠B=45°，AB=x∴AE=AB·sin∠B=

7、x∵AD=y，S△APD=∴S△APD=AD·AE=·y·x=∴y关于x的函数关系式为y=（2）∵∠APD=45°∴∠APB+∠DPC=135°∵∠B=45°，AD∥BC∴∠BAD=180°-∠B=135°∴∠BAP+∠PAD=135°∵AD∥BC∴∠PAD=∠APB∴∠BAP+∠APB=135°∴∠BAP=∠DPC∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C，AB=CD∴△ABP∽△PCD∴，即PB·PC=AB·CD∵y=1∴x=∴AB=CD=∴PB·PC=·=2（3）取AD的中点F，连接FP，过点P作PH⊥AD于H，则PF≥PH。∴当PF=PH时，PF有最小值

8、∵∠APD=90°，点F为AD的中点∴PF=AD=y