最短路径与选址问题

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1、最短路径与选址问题最短路径问题选址问题对于许多地理问题，当它们被抽象为图论意义下的网络图时，问题的核心就变成了网络图上的优化计算问题。其中，最为常见的是关于路径和顶点的优选计算问题。在路径的优选计算问题中，最常见的是最短路径问题；而在顶点的优选计算问题中，最为常见的是中心点和中位点选址问题。“纯距离”意义上的最短路径例如，需要运送一批物资从一个城市到另一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？“经济距离”意义上的最短路径例如，某公司在10大港口C1，C2，…，C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直接通航路线，则通过第

2、三个港口转运。那么，各个港口之间最廉价的货运线路是什么？一、最短路径问题（一）最短路径的含义“时间”意义上的最短路径例如，某家经营公司有一批货物急需从一个城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、河流航运、航空运输等4种运输方式和各个运输线路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路线最节省时间？以上3类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权图上的最短路径问题。不同意义下的距离都可以被抽象为网络图中边的权值。权——这种权值既可以代表“纯距离”，又可以代表“经济距离”，也可以代表“时间距离”。（二）最短路径的算法标号法1959年E.W.Dijkstar提出的标号法是最短

3、路径问题最好的求解方法。标号法优点不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度，而且可以求出起点到其他任何一个顶点的最短路径及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最短路径问题。.标号法的基本思想设G是一个赋权有向图，即对于图中的每一条边，都赋予了一个权值。在图G中指定两个顶点，确定为起点和终点，不妨设v1为起点，vk为终点。首先从v1开始，给每一个顶点标一个数，称为标号。这些标号，又进一步区分为T标号和P标号两种类型。其中，每一个顶点的T标号表示从起点v1到该点的最短路径长度的上界，这种标号为临时标号；P标号表示从v1到该点的最短路长度，这种标号为固定标号。在最短

4、路径计算过程中，对于已经得到P标号的顶点，不再改变其标号；对于凡是没有标上P标号的顶点，先给它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改，将其变为P标号。那么，最多经过k-1步，就可以求得到从起点v1到每一个顶点的最短路径及其长度。标号法具体计算步骤①如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样的点将其T标号修改为：min[T(vj)，P(vi)+wij]。②若G中没有T标号，则停止。否则，把点的T标号修改为P标号，然后再转入①。其中，满足开始，先给v1标上P标号P(v1)＝0，其余各点标上T标号T(vj)＝+∞（j≠1）。例1：在图10.2.1所示

5、的赋权有向图中，每一个顶点vi（i=1，2，…，n）代表一个城镇；每一条边代表相应两个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表示。试求城镇v1到v7之间的最短路径。图10.2.1赋权有向交通网络图解：首先给v1标上P标号P(v1)=0，表示从v1到v1的最短路径为零。其他点(v2，v3，…，v7)标上T标号T(vj)＝+∞（j＝2，3，…，7）。第1步：①v1是刚得到P标号的点。因为(v1，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)∈E，而且v2，v3，v4是T标号，所以修改这3个点的T标号为T(v2)＝min[T(v2)，P(v1)+w12]＝min[+∞，0+2]＝

6、2T(v3)＝min[T(v3)，P(v1)+w13]＝min[+∞，0+5]＝5T(v4)＝min[T(v4)，P(v1)+w14]＝min[+∞，0+3]＝3②在所有T标号中，T(V2)＝2最小，于是令P(V2)＝2。第2步：①v2是刚得到P标号的点。因为(v2，v3)，(v2，v6)∈E，而且v3,v6是T标号，故修改v3和v6的T标号为T(v3)＝min[T(v3)，P(v2)+w23]＝min[5，2+2]＝4T(v6)＝min[T(v6)，P(v2)+w26]＝min[+∞，2+7]＝9②在所有的T标号中，T(v4)＝3最小，于是令P(v4)＝3。第3

7、步：①v4是刚得到P标号的点。因为(v4，v5)∈E，而且v5是T标号，故修改v5的T标号为T(v5)＝min[T(v5)，P(v4)+w45]＝min[+∞，3+5]＝8②在所有的T标号中，T(v3)＝4最小，故令P(v3)＝4。第4步：①v3是刚得到P标号的点。因为(v3，v5)，(v3，v6)∈E，而且v5和v6为T标号，故修改v5和v6的T标号为T(v5)＝min[T(v5)，P(v3)+w35]＝min[8，4+3]＝7T(v6)＝min[T(v6)，P(v3)+w36]＝min［9，4+5]＝9②在所有的T标号中，T(v5)＝7最小，故令P(v5)＝7

8、。第5步：