最短路径问题——造桥选址问题

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1、课题13.4课题学习：最短路径——造桥选址问题主备人汪前进　授课人汪前进　课型综合问题解决课　授课时间2017、4、3教学目标教学知识点能利用平移解决造桥选址问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想。能力训练要求在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力培养学生的创新意识及应用意识。情感与价值观要求通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,培养学生乐于探索的学习态度，体现人人都学有所用的数学。重点利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明难点利用平移变换解决问题关键平移变换将折线转化为直线　教

2、学环节教师有效问题设计学生活动设计设计意图一、情境引入（5分钟）1、旧知回顾：师：上节课我们探究了最短路径问题，请你用所学知识解决下面的问题。问题：要在公路m旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？应该建在什么位置？为什么？（1）（2）2、导入：在现实生活中还有很多涉及到选择最短路径的问题,本节我们将再利用数学知识来探究数学中有名的“造桥选址问题”出示问题：造桥选址问题：回顾第一课时内容，思考问题，并回答问题（抽学生回答，教师出示作图课件）对问题的探索做准备，激发学生兴趣二、自主探究、合作交流A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河

3、的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)教师出示引导分析：先将实际问题抽象为几何模型，1、直接连接AB行吗？为什么？2、路径是哪些线段之和？3、桥的位置发生变化后，路径中哪些线段是不变的，哪些在变？4、路径最短就是哪些线段之和最小？5、路径中的线段可以转化吗？课件演示：将直线L一分为二，上面部分向上平移变为如图，再将上面部分向下平移回到直线异侧两点的情况。（意图：让学生认识到为什么要将A点沿桥的方向平移一个桥长）引导学生充分探究后，教师归纳：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.（课件展示）这是最短吗？引导证明理由:另任作桥M1N1,连

4、接AM1,BN1,A1N1.由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN,学生看完题后抽象出如下模型，思考，交流并回答问题1、桥就与河岸不垂直了，2、AM+MN+BN，3、MN不变，AM、BN在变，4、AM+BN根据老师的提示画图回顾“将军饮马问题”的证明方法学生可能会想到平移B点，教师已可稍作提示。通过层层递进将问题逐步简化，让学生能真正参与到教学活动之中。展示幻灯片达

5、到直观，并能作为归纳的作用让学生认识到为什么要将A点沿桥的方向平移一个桥长是师：还有不同的方法吗？三、反馈训练，拓展延伸1、如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）按上面的思路进行引导，尽量让学生思考解决。2、如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）1、当有n条河时呢？让学生自主思考，并归纳按上面的方法思考、讨论、交流解决问题沿垂直于河岸方向依次把Ａ点移到Ａ１、Ａ１点移到

6、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２　＝ＰＱ　；连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．2起到对知识检验，创新思维培养的作用四、归纳小结本节课我们学习了什么？你有何体会？学生发言归纳，相互补充