二元函数的极限

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1、§2二元函数的极限教学目的与要求：（1）掌握二元函数的极限的定义（2）熟悉判别极限存在性的基本方法．(3)掌握二元函数的累次极限的定义(4)了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(5)熟悉判别极限存在性的基本方法．(6)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．教学重点，难点：重点：二元函数的极限的定义，二元函数的累次极限的定义难点：判别极限存在的方法，重极限与累次极限的区别与联系教学内容：一二元函数的极限定义1设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数，若

2、对任给的正数，总存在某正数，使得当时，都有，则称当时，以为极限，记作(1)在对于不致产生误解时，也可简单地写作当分别用坐标表示时，式也常写作例1依定义验证证因为7先限制在点的的方邻域内讨论，于是有所以设为任给的正数，取，则当时，就有.例2设证明证对函数的自变量作极坐标变换，这时等价于对于任何都有.由于因此，对任何，只须取，当时，不管取什么值都有即下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相似).读者可通过它们进一步认识定义1中“”所包含的意义.7定理16.5的充要条件是：对于的任一

3、子集，只要是的聚点，就有推论1设,是的聚点，若不存在，则也不存在.推论2设,是它们的聚点，若存在极限，但，则不存在.推论3极限存在的充要条件是：对于中的任意满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛.下面两个例子是它们的应用.例3讨论当时是否存在极限.解当动点沿着直线而趋于定点时，由于此时，因而有这一结果说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在.例4二元函数如图16－7所示，当沿任何直线趋于原点时，相应的都趋于零，但这并不表明此函数在时极限存在.因为当点沿抛物线趋于点时，将趋于，所以极限

4、不存在.前面我们讲了当时，极限存在的概念，接下来献给出当时，趋于(非正常极限)的定义.定义2设为二元函数的定义域，是的一个聚点，若对任给正数7，总存在点的一个邻域，使得当时，都有，则称当时，存在非正常极限，记作或仿此可类似定义：与例5设证明证因为，对任给正数，取，就有由此推得即这就证得结果（该函数在原点附近得图像参见图16-8）.二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别把看作点函数时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出.二累次极限在上一段所研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于.这种极限

5、也称为重极限.在这一段里，我们要考察与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限.定义3设是的聚点，是的聚点，二元函数在集合上有定义，若对每一个存在极限由于此极限一般与有关，因此记作7而且进一步存在极限则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作或简记作类似地可以定义先对后对的累次极限累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系.下面三个例子将说明这一点.例6设由例3已经知道时的重极限不存在.但当时有从而有同理可得即的两个累次极限都存在而且相等.例7设它关于原点的两个累次极限分别为与当沿

6、斜率不同的直线7时，容易验证所得极限也不同.因此该函数的重极限不存在(下面的定理16.6将告诉我们，这是一个必然的结果).例8设它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因为对任何当时的第二项不存在极限.同理，对任何当时的第一项也不存在极限.但是由于故按定义1知道的重极限存在，且定理16.6若在点存在极限与累次极限，则它们必相等.证设则对任给的正数，总存在正数，使得当时，有(2)另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式(3)的，存在极限(4)回到不等式(2),让其中，由(4)可得(5)故由(3)，(5)证得，即由这个定理可导出

7、如下两个便于应用的推论.推论1若累次极限，7和重极限都存在，则三者相等.推论2若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在.请注意，定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等.(本节习题3则给出较定理弱一些的充分条件.)但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题2(5).推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定重极限的存在性(如例7).复习思考题、作业题：16.21(1)(3)(5),2(2)(4)(6),37