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1、§2二元函数的极限一、二元函数的极限二、多元函数的极限三、 累次极限回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxxx0就是>0,>0.当0<
2、x–x0
3、<时,有
4、f(x)–A
5、<.设二元函数z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值f(X)无限接近于数A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzx
6、of(X)一、二元函数的极限类似于一元函数,f(X)无限接近于数A可用
7、f(X)–A
8、<刻划.而平面上的点X=(x,y)无限接近于点X0=(x0,y0)则可用它们之间的距离设二元函数z=f(X)=f(x,y).定义域为D.X0=(x0,y0)是D的一个聚点.A为常数.若>0,>0,当对应的函数值满足
9、f(X)–A
10、<则称A为z=f(X)的,当X趋近于X0时(二重)极限.记作或也可记作f(X)A(XX0),或,f(x,y)A(xx0,yy0)定义1利用点函数的形式有n元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数
11、的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限的几何意义：>0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的图形总在平面及之间。例2求证证当时，原结论成立．注意：是指P以任何方式趋于P0.一元中多元中确定极限不存在的方法：(1)令),(yxP沿)(00xxkyy-+=趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；(2)找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx®®存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．例3设解但取其值随k的不
12、同而变化。不存在．故例4求解例5求极限解其中注1.定义1中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证X0的任意近傍总有点X使得f(X)存在,进而才有可能判断
13、f(X)–A
14、是否小于的问题.若D是一区域.则只须要求就可保证X0是D的一个聚点.另外,"0<
15、
16、XX0
17、
18、<"表示X不等于X0.2.如图xx0xxxoX0XD对二元函数f(X),如图有点X以任何方式趋近于X0时,f(X)的极限都存在且为A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo因此,如果当X以某几种特殊方式趋于X0时,f(X)的极限为A.不能断定二重极限若X以不同方式趋于X0时,
19、f(X)的极限不同,则可肯定二重极限3.极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.例6.用定义证明:证:>0,<时,有
20、f(x,y)–0
21、<).考虑
22、f(x,y)–0
23、(要证>0,使得当要使
24、f(x,y)–0
25、<,只须即
26、f(x,y)–0
27、<故例7.设f(x,y)=证明f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.证:由注2知,只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.考察X=(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy从而,当X=(x,
28、y)沿y=kx趋于(0,0)时,函数极限当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.请考察当X=(x,y)沿x轴,沿y轴趋于(0,0)的情形.沿x轴,y=0.函数极限=0沿y轴,x=0.函数极限=0但不能由此断定该二重极限为0(注2).二多元函数的极限1.定义说明：１）上述极限又称重极限或全极限，它与后面讲的逐次极限或累次极限不同；2.多元函数极限的性质性质４（四则运算）与一元函数运算相同除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.三.累次极
29、限:前面讲了以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量依一定次序趋于时的极限，称为累次极限。对于二元函数在的累次极限由两个和二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改它们的次序。（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在（３）二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.（4）二重极限极限和累次极限(或另一次序)都存在,则必相等.（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等
