奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式

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1、奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式1、abcabc=abc×10012、ababab=ab×1010113、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的a×b数写在前面，即a＜b，那么有:1111=(−)a×bb−aab4、对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有：1111=−n×(n+1)×(n+2)2n×(n+1)(n+1)×(n+2)1111=−n×(n+1)×(n+2)×(n+3)3n×(n+1)×(n+2)(n+1

2、)×(n+2)×(n+3)a+bab115、=+=+a×ba×ba×bba2222a+babab6、=+=+a×ba×ba×bba17、1×2+2×3+3×4+......+(n−1)×n=(n−1)n(n+1)318、1×2×3+2×3×4+3×4×5+......+(n−2)×(n−1)×n=(n−2)(n−1)n(n+1)4119、n(n+1)=n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)331110、n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)

3、−(n−1)n(n+1)(n+2)4411、n×n!=(n+1)!−n!111111n12.求和：S=++++......+=n1×22×33×44×5n(n+1)n+1证：1111111111nS=(1−)+(−)+(−)+(−)++(−)=1−=n2233445nn+1n+1n+111111n13.求和：S=+++++=n1×33×55×77×9(2n−1)(2n+1)2n+1证：1111111111111nS=(1−)+(−)+(−)++(−)=(1−)=n2323525722n−1

4、2n+122n+12n+11111n14.求和：S=++++=n1×44×77×10(3n−2)(3n+1)3n+111111111111证：S=(1−)+(−)+(−)++(−)n34347371033n−23n+111n=(1−)=33n+13n+111111111115.求和：S=+++++=(1+−−)n1×32×43×54×6n(n+2)32n+1n+211111111111111证：S=(1−)+(−)+(−)+(−)++(−)n232242352462n−1n+111111

5、11+(−)=(1+−−−)2nn+232n+1n+216.求和：1111111S=++++=−n1×2×32×3×43×4×5n(n+1)(n+2)22(n+1)(n+2)21111证：因为=[−]，n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)111111111∴S=(−)+(−)++[−]n21×22×322×33×42n(n+1)(n+1)(n+2)111=[−]22(n+1)(n+2)n(n+1)17、1+2+3n=2218、1+2+3++（n−1）+

6、n+（n−1）++3+2+1=n219、1+3+5+7+（2n−1）=n222n(n+1)(2n+1)20、1+2++n=622222n(2n+1)(2n−1)n×(4n−1)21、1+3+5++（2n−1）==332()23332nn+122、1+2++n=(1+2+n)=42223、a−b=(a+b)(a−b)22224、(a±b)=a±2ab+b【典型例题】1111例1.计算：+++……+1985×19861986×19871987×19881994×1995111+++199

7、5×19961996×19971997分析与解答：111=−1985×198619851986111=−1986×198719861987111=−1987×198819871988……111=−1994×1995199419953111=−1995×199619951996111=−1996×199719961997上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。11111+++…++1985×19861986×19871987×1988

8、1995×19961996×19971+1997111111111=−+−+−+……+−+198519861986198719871988199519961996111−+=199719971985像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。1111例2.计算：+++…+11+21+2+31+2+3+…+100公式的变式12=1+2+…+nn×(n−1)当n分别取1，2，3，……，100时，就有12=11×21