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1、第二章导数与微分Thedifferentiablepropertiesoffunction第二章导数与微分(Thedifferentiablepropertiesoffunction)第一节导数概念（TheConceptofDerivative）一两个典型背景示例(Introduction)例一:运动物体的瞬时速度(VelocityofRectilinearMotion).设质点沿轴作直线运动,若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为.求在时刻的瞬时速度(InstantaneousVelocity).解
2、:(1)求时段到＋的平均速度：.(2)平均速度的极限是瞬时速度.即：因此,如果极限存在,这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度.例二:曲线的切线斜率(SlopeoftheTangentLine).设曲线由方程确定..要求在点的切线.(1)求区间到的弦的斜率:=;(2)弦斜率的极限是切线的斜率:第二章导数与微分Thedifferentiablepropertiesoffunction第二章导数与微分Thedifferentiablepropertiesoffunction==;(1)曲线:在点的切线(Tangen
3、tLine):斜率等于,切线的方程称为:二导数的定义(DefinitionofDerivative)定义:假设函数在点某邻域有定义,如果极限=存在,则称其值为函数在点的导数(Derivative),并说在可导；在点的导数记作或或或.Definition：Letf(x)beawell-definedfunctiononsomeneighborhoodof,ifthevalueoftheindependentvariablexchangesfromto,thecorrespondingchangeinthede
4、pendentvariable,y,willbey=f()－f();ifthelimitoftheratioy/xexistsasx→0,thenwesaythatf(x)isdifferentiableatx=x0,i.e.=,andwecallthislimitthederivativeoff(x)atx=,denotedbyor,or或.l函数在点的导数,就是在点函数关于自变量的变化率.第二章导数与微分Thedifferentiablepropertiesoffunction第二章导数与微分Thedi
5、fferentiablepropertiesoffunction运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数.曲线在点切线斜率是函数f对x的导数.例:细杆的线密度。设有长度为的质量不均匀细杆,杆所在的直线为轴,表示细杆在区间中的质量.是细杆在一段的平均质量密度是.它的极限,即质量函数关于在点的导数就是细杆在的线密度.l在导数定义中,称为自变量的增量(theIncrementoftheIndependentVariable);可正可负,但是不能取零;称为函数的增量(theIncrementoftheFuncti
6、on).当限制的负正时，有所谓左、右导数之称,即：若存在,则称其为在的左导数(Left-handDerivative);若存在,则称其为在的右导数(Right-handDerivative);在点的左、右导数分别记作和.三例1,常数函数的导数.由导数定义(注意到)得到第二章导数与微分Thedifferentiablepropertiesoffunction第二章导数与微分Thedifferentiablepropertiesoffunction.所以.2,三角函数的导数:和的导数.==同样的方法可以得到.注
7、意导数的几何意义(TheGeometricMeaningofDerivatives)。l对数函数的导数(theDerivativesoftheLogarithmicFunction)当,当,，l幂函数的导数(theDerivativeofthePowerFunction).解:对于任意的,有=四导数的基本性质(PropertiesofDerivative)性质一：函数在点存在导数的充分必要条件是在点的第二章导数与微分Thedifferentiablepropertiesoffunction第二章导数与微分T
8、hedifferentiablepropertiesoffunction左、右导数都存在并且相等.性质二:如果在可导,则函数在的增量可表成：.证明:由在点可导,则有.由极限性质可知，当时，,即.推论一：如果在可导,则函数在必连续。推论二：如果,则。推论三：如果在可导,在附近用切线上的增量,来近似函数曲线上的增量，相差为。注意：由函数的连续性不能推出可导性.如果在区间中的每个点都可导,称在区间上可导,这时,在上定义
