第二章.导数与微分

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1、第2章导数与微分2.1学习目标（1）让学生掌握导数概念及实际意义，（2）掌握微分的概念，熟练掌握求导法则，（3）会应用导数或微分解决实际问题。2.2知识脉络2.3重点和难点（1）重点：导数的概念及几何意义；一个函数在某点可导与连续的关系,可导与可微的关系（2）难点：求导的计算；复合函数、隐函数求导数的计算。162.4疑难问题与分析2.4.1导数的概念在点处可导是指极限存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。曲线在点处的切线方程为函数在点可导，则在点连续。反之则不

2、然，函数在点连续，在点不一定可导。2.4.2函数求导方法常见函数的求导方法有（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，例如函数，求。在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即再用导数的加法法则计算其导数，于是有16这样计算不但简单而且不易出错。又例如函数，求。显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将

3、上式两端取对数得两端求导得整理后便可得若函数由参数方程的形式给出，则有导数公式能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。2.5典型例题解析2.5.1用导数的定义求函数导数的方法例2.1求在处的导数.解由导数的定义知.例2.2求，的导数.16解当时，，当时，，当时，，所以，，因此，于是小结求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.2.5.2用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导

4、的方法例2.3设求.解，.例2.4设求.解利用复合函数求导法求导，得16.小结若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数在点可导，否则法则失效.如在点，用四则运算法则求导，不存在，但由例1知在的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.2.5.3对数求导方法例2.5已知=，求.解两边取对数，得：，两边对同一自变量求导，得，.小结对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数

5、，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.2.5.4隐含数的求导法例2.6已知求.解两端对求导，得整理得，故16上式两端再对求导，得=将代入上式，得.小结在对隐函数求二阶导数时，要将的表达式代入中，注意，在的最后表达式中，不能出现.2.5.5由参数方程所确定的函数的求导法例2.7设求，.解.小结求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导.2.5.6求函数微分的方法16例2.8求函数的微分.解一用微分的定义求微

6、分，有.解二利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得.小结求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便.2.5.7利用微分求近似值例2.9求的近似值.解设，由近似公式，得取，则有.例2.10有一批半径为的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层铜，厚度为，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为）解所镀铜的体积为球半径从增加时，球体的增量.故由知，所镀铜的体积为16质量为.小结利用公式计算函数近似值时，关键是选取函数的形式及正确选取.一般要求便于

7、计算，越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，必须换成弧度.2.5.8求曲线的切线方程例2.11求曲线的切线，使该切线平行于直线.解方程两端对求导，得，由于该切线平行于直线于是，，，.因为切线必在曲线上，所以，将代入曲线方程得解之，此时切点的坐标为,，切线的斜率为直线的斜率因此得切线的方程分别为，即，，即.2.5.9求函数的变化率例2.12落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总16是，问2末受到扰动的水面面积的增大率为多少？解设最外圈波纹半径为，扰动水面面积为，则两边同时对求

8、导，得从而又为常数，故（类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系），因此，故有.因此，2末受到扰动的水面面积的增大率为.小结对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复