芝诺悖论的又一现代翻版_调和级数悖论

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1、第24卷第6期喀什师范学院学报Vol.24No.62003年11月JournalofKashgarTeachersCollegeNov.2003芝诺悖论的又一现代翻版X——调和级数悖论欧阳耿(漳州师范学院数学系,福建漳州363000)摘要:通过发现芝诺悖论的又一个翻版——调和级数悖论,再一次证明,在传统的有穷-无穷理论体系中,人们永远不可能解决芝诺通过悖论要求人们解决的问题,并且永远无法制止新的芝诺悖论翻版的产生.关键词:芝诺悖论;数学危机;传统有穷-无穷理论体系;无穷小中图分类号:O11文献标识码:A文章编号:1006-432×(

2、2003)06-0017-04中国古代哲学家称悖论“饰人之心,易人之意,能胜人之口,不能服人之心”.科学家们通过悖论来提出问题.悖论是科学研究中基础理论缺陷的产物,是对科学理论体系的挑战,是对人类智力的挑战.研究悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷,而解决悖论的最大意义是能帮助我们解决学科基础理论的缺陷——修改或重建某些基础理论,从而使科学研究朝着健康的方向发展.这是一种客观的需要.约公元前465年,埃利亚的芝诺著述了几个与无穷概念相关的悖论,导致了科学界的理论危机[1].2500多年来,许许多多哲学家与数学家努力奋斗,力图解决芝诺那

3、些与无穷概念相关的问题.但由于传统的有穷-无穷理论体系几千年来没有什么实质性的完善[2],使芝诺悖论不仅不可能得到解决,反而还不时以不同的翻版出现在数学中,固执地向与无穷概念相关的数学内容发出一次次挑战,并且目标非常清楚——直捣整座数学大厦的基础。人们到目前为止的所有努力都只能以失败告终——时间在芝诺悖论面前凝固了!贝特兰·罗素清楚的看到了这一点,他在谈及芝诺悖论时写道:“经过谨慎的解释,似有可能再现芝诺的所谓‘悖论’,它们从提出之日起直到现在一直被人们所‘驳斥’.”芝诺悖论不断以新的形式出现在科学中,形成一个庞大的“芝诺悖论家族”

4、:第二次数学危机是芝诺悖论[3～5]在300多年前的一种翻版所引起的,而我们今天发现的调和级数悖论则是芝诺悖论的又一个很巧妙的翻版.1芝诺所著述的与无穷概念相关的悖论芝诺悖论的原作没有流传下来,但亚里士多德在其著作中对此作了记录.我们将与调和级数悖论相关的[1]两个悖论摘引如下:a.运动是不存在的.在跑完某一段距离的全程之前,竞赛者首先必须跑完这段距离的一半;在跑完全程的一半之前,又必须跑完一半的一半,即全程的四分之一;在跑完全程的四分之一之前,又得跑完全程的八分X收稿日期:2003-06-20作者简介:欧阳耿(1957-),男,福

5、建省漳州市人,漳州师范学院副教授,从事数学悖论和数学基础理论研究.·18·喀什师范学院学报第24卷之一;⋯⋯如此递推,以至无穷,故运动不可能.b.阿基里斯追不上乌龟.阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄.在他和乌龟的竞赛中,乌龟在前面跑,他在后面追,但他不可能追上乌龟.因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时,乌龟已向前移动一些;阿基里斯再到达乌龟的那个位置时,乌龟又往前跑了一段;⋯⋯因此,无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置,乌龟都会在他前面.所以,无论阿基里斯跑得多快,他永远追不上乌龟.芝诺这

6、些悖论显然都与人们的生活经验、共识相悖.但问题是2500年来人们一直无法真正认识无穷概念的本质,无法真正认识与之相关的数量形式,必然无法回答芝诺通过悖论要人们所回答的问题.据说,芝诺的一个学生曾抓来一只乌龟,让它在距自己10步以外向前爬行,然后从后面追上乌龟,演示给芝诺看,想以此来证明阿基里斯完全可以追上乌龟.另一个叫爻布纳·希莫尼的学者编了一个既生动有趣、又中肯贴切的对话来评述芝诺悖论的荒谬:当一只饥饿凶猛的狮子从笼子里被放出来去追赶芝诺时,芝诺不慌不忙地一边慢跑一边告诉人家,这只狮子永远不可能跑到他身边.因为狮子首先必须到达他的

7、出发点,当狮子到达他在某时所处的位置时,他已向前移动一些;狮子再到达他的那个位置时,他又往前跑了一段;⋯⋯因此,无论狮子到达他曾处的哪个位置,他都会在狮子前面.所以,无论狮子跑得多快,都永远追不上他.从另一个角度说,狮子在接近他时必须跑完全程的一半,在跑完全程的一半前又必须跑完全程的四分之一,在跑完全程的四分之一前又必须跑完全程的八分之一,如此类推,以至无穷,狮子连一步都跨不出.但在他刚说完狮子无论如何永远没办法追上他的话音落下后不久,芝诺被这飞跑而至的狮子吞吃掉了.有的人认为象这样对芝诺悖论的解答是最生动、准确不过了.其实在数学上

8、仅用现在初中生都懂的加和数列就可以轻而易举地告诉人们阿基里斯何时可追上乌龟.史料也表明芝诺当时未必不懂得这些简单的常识.但这类解答仅描述了事件的现象和结果,而芝诺要人们解答的是事件的可能性问题,要人们在理论上认识、解释与无穷概念相关的