非齐次Toda 晶格的对称, 精确解和可积性

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1、高校应用数学学报A辑Appl.Math.J.ChineseUniv.Ser.A2002,17(2):1402144非齐次Toda晶格的对称,精确解和可积性张　隽,潘祖梁(浙江大学应用数学系,浙江杭州310027)摘　要:研究非齐次Toda晶格,即一类非齐次非线性微分差分方程的对称与可积性L给出了这一类方程的Lie点对称,条件对称和精确解L给出这类方程与Toda晶格之间的可逆点变换,从而表明这一类方程是可积的L关键词:非齐次Toda晶格;对称;条件对称;可积性中图分类号:O175文献标识码:A　　文章编号:100024424(2

2、002)0220140205§1　引　言非线性晶格动力学在分子物理学,生物学,统计物理,声学,光学,凝聚态物理等领域中[1～4]有广泛的应用前景,其数学模型常以非线性微分差分方程的形式出现L典型的例子是Toda晶格L为研究这些系统中可能存在的孤立子运动形态,人们常以奇异摄动等方法,将离[2,3]散系统取连续统极限而成为KdV,NLS等经典的孤子方程L相比之下,除Toda晶格外,直接对离散系统进行解析研究就比较少L另一方面,为了利用计算机对非线性系统进行数值求解或研究解的性质,又必须将连续系统离散化得到差分方程或微分差分方程.所

3、以非线性微分差分方程的研究在理论和应用两方面都是很有意义的L[5,6]Lie变换群方法是研究微分方程的对称性并求出非线性方程解析解的有效途径L近[7～9]几年来,该方法已推广到差分方程和微分差分方程L[10]利用Lie群方法给出了几类非线性差分方程的对称和精确解L文[1]给出了非齐次Toda晶格的Darboux2Bcklund变换L本文研究非齐次Toda晶格,即一类非齐次非线性微分差分方程(1),其系数可与n有关,且包含与速度有关的外力作用项,这样的方程可能更符合实际的物理系统L我们利用变换群的[8]内禀方法,给出了方程(1)

4、的Lie点对称和精确解,考虑到方程(1)与Toda晶格对称代数的同构关系,推导出方程(1)与Toda晶格之间的变换关系,表明该方程是IST意义下可积的L我们还引进了一个新的约束条件,给出方程(1)的条件对称,进而得到该类方程一类新的精确解L收稿日期:2000212227基金项目:教育部博士点基金(1999033516)©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.张隽等:非齐次Toda晶格的对称,精确解和可积性141§2　方程的对称考虑非齐次的微分

5、差分方程2M(n-1)-M(n)M(n)-M(n+1)$n=Mtt-bMt-(2n+a)b-g(n-1)e+g(n)e=0,(1)其中a,b是任意的实数,g(n)是非负的任意函数Z设该方程对称李代数的向量场为:dM=N(t,Mn(t))9t+<(t,Mn(t))9M(n),(2)保持方程形式不变的条件为:(2)dprM$nû$=0=0,(3)n其中n+1n+1(2)dtprM=N(t,M(n))9t+<(k,t,M(k))9M(k)+<(k,t,M(k),Mt(k))9M(k)+∑∑tk=n-1k=n-1n+1tt<(k,t,

6、M(k),Mt(k),Mtt(k))9M(k),(4)∑ttk=n-1t<(k,t,M(k),Mt(k))=Dt<(k,t,M(k))-[DtN(t,M(k))]Mt(k),(5)ttt<(k,t,M(k),Mt(k),Mtt(k))=Dt<(k,t,M(k),Mt(k))-[DtN(t,M(k))]Mtt(k).(6)把(1)代入到(3),得到超定方程为:2

7、)2(2n+a)b+g(n-1)e-g(n)e]-NttMt(n)-2NtM(n)Mt(n)-32NM(n)M(n)Mt(n)-b[

8、之相对应的4维李代数(固定参数a和b)的生成元是:-bt-btbtD=9t,T=e9t-b(2n+a)e9M(n),W=e9M(n),U=9M(n).(9)它们的非零的交换子关系是:[D,T]=-bT,[T,W]=bU,[D,W]=bW.(10)我们利用{D+KU}求得相似变