专升本试题及解答(四川理工2015)

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1、四川理工《高等数学》专升本考试题（2015）2015年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）一、选择题（每题3分，共15分）1、极限（D）（A）（B）（C）（D）【知识点】第二个重要极限。解析：。2、函数在处（D）（A）（B）（C）（D）不存在【知识点】导数的定义。解析：，即不存在。3、直线与直线的夹角为（A）（A）（B）（C）（D）【知识点】直线间的夹角公式（方向向量的夹角）。解析：由参数方程得对称式方程：；于是，，即。4、设，则（D）（A）（B）（C）（D）【知识点】凑微分法。解析：。5、设连续，交换二次积分的次序是（C）第5页（共5页）四川理工《高

2、等数学》专升本考试题（2015）（A）（B）（C）（D）【知识点】交换二次积分次序。解析：新积分区域，所以，。二、填空题：（每题3分，共15分）6、函数的定义域是。【】【知识点】二元函数的定义域。解析：定义域为：。7、。【】【知识点】换元法、分部积分法。解析：令，。于是，。8、判定级数收敛还是发散，答：；【收敛】【知识点】比值审敛法。解析：。9、微分方程的通解。【】【知识点】可分离变量微分方程。解析：。10、曲面在点处的切平面。【】【知识点】曲面的切平面方程。解析：令，，，；第5页（共5页）四川理工《高等数学》专升本考试题（2015）过点的切平面方程的法向量，故

3、，切平面方程为：，即。三、解答题（每小题8分，共56分）11、求极限。【知识点】等价替换。解析：。12、已知函数由方程确定，求。【知识点】参数方程的二阶导数。解析：，。13、由元素法的思想写出：由型区域，绕轴旋转的旋转体的体积公式，然后计算由，与轴所围成图形绕轴旋转的体积。【知识点】元素法（微元法）。解析：在区间任取小区间，面积元素，而绕轴旋转而成圆环（周长），其体积元素；（展开为长方体）于是，平面图形绕轴旋转而成立体的体积为：。由此公式得：。14、设，其中具有二阶连续偏导数，求。【知识点】二阶偏导数（抽象函数）。解析：；。15、求曲线积分，其中取逆时针方向。【

4、知识点】曲线积分（曲线积分与路径无关）。第5页（共5页）四川理工《高等数学》专升本考试题（2015）解析：因，所以，曲线积分与路径无关。取直线段（轴上）：，于是，。16、计算，其中由、和所围成区域。【知识点】直角坐标系下的二重积分计算。解析：积分区域。。17、求函数的极值。【知识点】二元函数的极值。解析：令得驻点；又，在点处，，且，故，函数的极小值为。四、证明题：（每题7分，共14分）18、证明：设在上连续可导，，则，使。【知识点】积分中值定理、罗尔定理。证明：由在上连续可导知，在上连续，由积分中值定理，，使；又，即，由题设知在上连续可导，由罗尔定理，（即），使

5、。19、证明：当时，有。【知识点】单调性判定定理。证明：令，则，又，；第5页（共5页）四川理工《高等数学》专升本考试题（2015）当时，，即，故，即，所以，当时，有，即，，故，结论成立。第5页（共5页）