牛顿科特斯公式及其积分应用

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1、数值计算实习报告——牛顿—柯特斯积分方法及其应用姓名：杨银月学号：139084154班级：数131牛顿—柯特斯积分算法及其应用一、引言●数值积分的必要性现实生活当中往往会遇到这样的问题：拉着一块物体在一粗糙平面上沿着一直线从一点移动到另一点所发生的功是多少？一个不规则的平面图形的面积是多少？已知边际成本—产量函数求在一产量下的总成本……通过物理和几何学以及经济学的知识容易知道这类问题是需要计算积分的，根据微积分b定理对于积分If(x)dx，只要找到f(x)的原函数F(x)，便有牛顿—莱布尼茨

2、公式：abf(x)dxF(b)F(a)a但是，现实生活中往往只能得到一些离散的点，无法得到连续的函数f(x)，即便是给sinx定了f(x)，也不一定就是容易找到原函数的（原函数往往非初等），比方说(x0)，x2xe等，故不能用N-L公式进行积分运算。即使能求得原函数的积分有时候计算也是非常困1难的。例如对于被积函数f(x)，其原函数61x21111xx31F(x)arctanxarctan(x)lnC236x43xx31计算F(a),F(b)仍然很困难，因此有必要

3、研究积分的数值计算问题。●数值积分的基本思想由积分中值定理（如图1）知，在积分区间[a,b]内存在一点，成立bf(x)dx(ba)f()a图1就是说，底为ba而高为f()的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I。问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f()的值，称f()为区间[a,b]上的平均高度。这样只要对平均高度f()提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。如果我们用两端点“高度”f(a)与f(b)的算术平均值作为平均高度f()的近似值，这样导出的求积公

4、式bbaf(x)dx[f(a)f(b)](11)a2ab便是众所周知的梯形公式。而如果改用区间的中点c的“高度”f(c)近似地取代2平均高度f()，则又可导出所谓的“中矩形公式”。更一般地，可在区间[a,b]上适当选取某些节点x，然后用f(x)的加权平均得到平均kk高度f()的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：nbf(x)dxAkf(xk)，(12)ak0式中x称为求积节点；A称为求积系数，亦称伴随节点x的权。权A仅仅与节点x的选kkkkk取有关，而不依赖于被

5、积函数f(x)的具体形式。这类数值积分通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为被积函数值的计算，这就避开了N-L公式需要寻求原函数的困难。梯形公式即机械型求积公式n1的情况，而由公式(12)，给定不同的n可以得到不同的求积公式。下面讨论不同n的情况下，求积公式的形式与性质。二、N-C公式及其简单形式（n1,n2）●N-C公式推导对于大部分的函数f(x)都是不容易求积的，但是可以用插值法的思想将f(x)用多项式插值表示，因此可以定义插值型的求积公式：nbbf(x)dxAkf(x

6、k)其中Aklk(x)dx。aak0等距节点的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式，推导如下：ba取等距节点：xaih，h,i1,2,...,n，令xath，得：innibbxxjntj(ba)(1)nAl(x)dxdxhdt(tj)dt，iaia00jixixjjiijni!(ni)!ijniA(1)ni(n)称(tj)dt为柯特斯系数，记做C，所以有牛顿—柯特斯公式：bani!(ni)!0iijnb(n)f(

7、x)dx(ba)Cif(xi)ai0由于是多项式积分，柯特斯系数的计算不会遇到困难。当n1时，(1)(1)1CC,012这时的求积公式就是梯形公式；当n2，这时的柯特斯系数为:(2)121(2)124C(t1)(t2)dt；Ct(t2)dt；00104626(2)121Ct(t1)dt.2406相应的求积公式是如下辛普森公式baabS[f(a)4f()f(b)].(21)62●稳定性分析下表是柯特斯公式的系数表（n=1,2，…，8）（程序2

8、—1）n(n)Ci10.50000.500020.16670.66670.166730.12500.37500.37500.125040.07780.35560.13330.35560.077850.06600.26040.17360.17360.26040.066060.04880.25710.03210.32380.03210.25710.048870.04350.20700.07660.17300.17300.07660.20700.043580.03490.2077-0.03270.37