轨迹方程的求解

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1、数海冲浪---轨迹方程的求法轨迹方程求法探究求轨迹方程的方法有多种，常用的有直接法、定义法、代入法、参数法，向量法，待定系数法和交轨法．一、直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法．例1．一动点与原点的边线的斜率等于这个动点与原点的距离，求此动点轨迹方程。解析：设P（x,y），则，都可表示出来，从而据题设可求得动点的轨迹方程。解：设动点P（x,y），则，，据题意可得：两边平方化简得：（xy>o）故所求得动点的轨迹方程为（xy>o）变式：已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于

2、4，求点P的轨迹方程。解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。（1）当x≤3时，方程变为，化简得。（2）当x>3时，方程变为，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或。二、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．例2已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。。∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为。例3、动圆M与圆C1:(x+

3、1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的9数海冲浪---轨迹方程的求法）。解：如图，，∴∴（*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC中，B(-5,0),C(5

4、,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·2RsinA∴即（*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为（x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）练习：1、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A、y2=-16x

5、B、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x解：C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C2、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（）A、B、C、D、9数海冲浪---轨迹方程的求法2、D∵，且∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。3、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是（）A、B、C、D、4、A设中心为(x，y)，则另一焦点为

6、(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得，∴①又c

7、2x2得，轨迹方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则∵，∴，即y2=x+2又弦中点在已知抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，∴x>23．代入法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法．例3．已知A（2，0），B，点C在直线上移动，求ABC重心G的轨迹方程。分析：重心G的运动是由点C在直线上运动引起的，因而设G（x,y），再用表示出点C的坐标，就可以建立

8、起点G的轨迹方程。解：设G（x,y）,C∵G是ABC的重心，且A（2，0），B，9数海冲浪---轨迹方程的求法∴即又C在直线上∴，即化简得①∵A(2,0),B,共线