分法求方程的近似解》参考

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1、算法的基本思想二分法求方程的近似解教学目标:体会用二分法求方程近似解的算法思想.教学重难点:算法的设计及意义对于一元二次方程,可以用熟悉的求根公式来求解,但是,绝大部分的方程不存在求根公式.在实际问题中,通常只要获得满足一定精确度的近似解就可以了.因此,讨论方程近似解的算法具有重要的意义!设计一个算法,求方程3x+4y=13的正整数解.设计一个算法,解方程组的正整数解x+y+z=62x-3y+z=6解:(1)因为x≤6,所以,x可能为,1,2,3,4,5,6(2)就x的6种情况进行讨论,x=1,问题变为求的正整数解;y+z=5-3y+z=4……按照上述步骤讨论完x的情形,就

2、得到方程组的的所有正整数解x=4y=1z=1b.x=2时,问题变为求y+z=4-3y+z=2的整数解在函数的应用部分,我们学习了用二分法求方程f(x)=0的近似解.如图所示yxOabx*二分法的基本思想是:将方程的有解区间分为两个小区间,然后判断解在哪个小区间;继续把有解的区间一分为二进行判断,如此周而复始,直到求出满足精度要求的近似解.1.确定有解区间(f(a)f(b)<0).2.取的中点3.计算函数f(x)在中点处的函数值4.判断函数值是否为零其算法步骤如下:如果为零,就是方程的解,问题就得到解决.f(a)1)若<0,则得新有解区间为b)如果函数值不为零,则分下列两种情

3、形:2)若则确定新的有解区间为5.判断新的有解区间长度是否小于精确度:(1)如果新的有解区间长度大于精确度,则在新的有解区间的基础上重复上述步骤;(2)如果新的有解区间长度小于或等于精确度,则取新的有解区间的中点为方程的近似解.1.求方程f(x)=x3+x2-1=0在区间[0，1]上的实数解,精确度为0.1.解:1.因为f(0)=-1,f(1)=1,f(0)f(1)<0,则区间[0,1]为有解区间,精度1-0=1>0.12.取[0,1]的区间中点0.5;3.计算f(0.5)=-0.125;4.由于f(0.5)f(1)<0,可得新的有解区间[0.5,1],精度1–0.5=0.

4、5>0.1练习6.计算f(0.75)=-0.1563;7.由于f(0.75)f(1)<0,可得新的有解区间[0.75,1],精度1-0.75=0.25>0.18.取区间[0.75,1]的中点0.875;9.计算f(0.875)=0.4355510.由于f(0.75)f(0.875)<0,可得[0.75,0.875]精度0.875-0.75=0.125>0.1;11.取区间[0.75,0.875]的中点0.81255.取[0.5,1]的区间中点0.75;11.计算f(0.8125)=0.1965312.因f(0.75)f(0.8125)<0,得区间[0.75,0.8125]精

5、度0.8125-0.75=0.0625<0.113.该区间一满足精确度的要求,所以取该区间的中点0.78125,它是方程的一个近似解.简化写法:第一步:令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)f(1)<0,所以设x1=0,x2=1.第二步:令m=,判断f(m)是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断f(x1)f(m)大于0还是小于0.第三步:若f(x1)f(m)>0,则令x1=m;否则,令x2=m.第四步:判断

6、x1-x2

7、<0.1是否成立?若是,则x1,x2之间的中间值为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。算法,出现在12世纪,指的是运用阿拉伯数字进行算术运算的过程

8、.在数学中,现代意义上的“算法”,通常指的是可以用计算机来解决来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确的有效的,而且能够在有限步之内完成.练习.书本78:12.设计一个算法,求函数y=log2x,当x=3时的函数值(精确到0.1)(用反函数的思想转化为求f(x)=2x-3=0的近似解.用二分法算法计算)解:算法(二分法):因为f(1)=-1,f(2)=1,f(1)f(2)<0,所以取区间[1,2]第一步:输入a,b;即区间端点的值第二步:取区间[a,b]的中点,将区间一分为二;第三步:若f(x0)=0,则x0就是所求函数的零点,输出x*=x0,结束;否则判断

9、x*在x0的左侧还是右侧;若f(a)f(x0)>0,则x*属于(x0,b),a=x0;若f(a)f(x0)<0则x*属于(a,x0),b=x0;第四步:若

10、a-b

11、<0.1,计算终止,输出x*=x0,否则转到第二步.作业:P83A组2、6.B组1