多元多元函数微分法函数微分法

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1、§8．4多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则全微分形式不变性练习连锁规则、连锁规则的进一步推广注意多元复合函数的偏导数如何求？定理如果函数uj(t)及vy(t)都在点t可导，函数zf(x，y)在对应点具有连续偏导数，则复合函数zf[j(t),y(t)]在点可导，且其导数可用下列公式计算：设zf(u，v，w)，uj(t)，vy(t)，ww(t)，则zf[j(t)，y(t)，w(t)]对t的导数为：连锁规则的推广：．．连锁规则：（称为全导数）设zf(u，v)，而uj(x，y)，vy(x，y)，

2、则复合函数zf[j(x，y)，y(x，y)]的偏导数为：连锁规则的进一步推广：，．例1设zeusinv，uxy，vxy，求和．解eusinv·yeucosv·1exy[ysin(xy)cos(xy)]，eusinv·xeucosv·1exy[xsin(xy)cos(xy)]．讨论：1．设zf(u，v，w)，uj(x，y)，vy(x，y)，ww(x，y)，则，．2．设zf(u，x，y)，且uj(x，y)，则，．答：答：例2设uf(x，y，z)，而zx2siny．求和．解

3、2x2z2x(12x2sin2y)．·2xsiny2y2z·x2cosy2(yx4sinycosy)．例3设zuvsint，而uet，vcost．求全导数．et(costsint)cost．解vetusintcostetcostetsintcost例4设wf(xyz，xyz)，f具有二阶连续偏导数，求及．解令uxyz，vxyz，则wf(u，v)．yz，或f1yzf2．yyzyyzyzxy2zxyyyzxy2z，y(xz)y或f1

4、1y(xz)f12yf2xy2zf22．设zf(u，v)具有连续偏导数，则有全微分全微分形式不变性：dzdudv．如果zf(u，v)具有连续偏导数，而uj(x，y)，vy(x，y)也具有连续偏导数，则dzdxdy()dx()dy(dxdy)(dxdy)dudv．例6设zeusinv，uxy，vxy，利用全微分形式不变性求全微分．(yeusinveucosv)dxdzdudv解eusinvdueusinv(ydxxdy)exy[ysin(x

5、y)cos(xy)]dxexy[xsin(xy)cos(xy)]dy．eucosvdveucosv(dxdy)(xeusinveucosv)dy