5常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法

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1、§5常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法为了简单起见，在此仅研究含有两个一阶常微分方程的初值问题（5.1）若记则（5.1）可以改写为向量的形式（5.2）相应地，将前述求解常微分方程初值问题的公式写成向量的形式，就得到常微分方程组的数值解法。例如，求解（5.1）的四阶经典R-K方法为其中注：教材中不正确，它们仅当时成立（即初始条件）。对于高阶微分方程，可以化成微分方程组后再求解。例如二阶常微分方程初值问题（5.3）令，则（5.3）可以化为§6边值问题的数值解法本节用最简单的二阶常微分方程问题为例，说明边值问题的数值解法。用中心差商代替导数，上述问题可

2、以转化为方程组，然后求解。这种求解方法称为差分法。过程如下：记，将一阶和二阶中心差商公式中的余项略去，并用分别替代，代入方程，便得注意到为已知，这是一个含有个未知数，个方程的方程组。一般情况下，上述方程组是非线性的，求解比较困难。如果是与的线性函数，则方程组为线性方程组。例2求边值问题取步长，求数值解。解本例中，分别取，得将代入上式，整理后得上述方程组为对角占优的三对角方程组，用追赶法求解，得0.10.0704890.0704670.20.1426840.1426410.30.2183050.2182440.40.2991090.2990330.50

3、.3869040.3868190.60.4835680.4834800.70.5910680.5909850.80.7114790.7114110.90.8470050.846963问题的精确解为。边值问题的定解条件，除称为第一种边界条件外，还有第二种边界条件第三种边界条件其中。对于第二、第三种边界条件，也可用数值微分公式对边界条件进行处理，将处理后得到的方程补在相应的方程组中就可以求数值解。例3求边值问题的数值解，取。解首先，分别用一阶、二阶差商近似一阶、二阶导数，得将代入上式，得（1）由边值条件得（2）在（1）中令，得即（3）将（2）代入（3），

4、并整理，得（4）再在（1）中取，并将代入，整理后与（4）组成线性方程组解之，得