重积分、曲线积分(数学)

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1、空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点空间点的直角坐标空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为向量按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量(向量的单位化）空间两向量的夹角的概念：按基本单位向量的坐标分解式：特殊地：向量的坐标表达式：同理向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量模长的坐标表示式当时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地：单位向量可表示为数量积也称

2、为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.两向量的数量积（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：数量积符合下列运算规律：关于数量积的说明：数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为解定义关于向量积的说明：//向量积也称为“叉积”、“外积”.向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：向量积的坐标表达式循环记忆法补充例如，解研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、

3、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．曲面方程解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为旋转过程中的特征：如图将代入旋转曲面将代入得方程解圆锥面方程例将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面旋转椭球面旋转抛物面播放定义柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴（一）椭球面二次曲面：三元二次方程所表示的曲面称之．（二）双曲面单叶双

4、曲面双叶双曲面xyo空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.空间曲线的方程空间曲线的参数方程消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线例求曲线在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在面上的投影为所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面上，空间立

5、体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面解半球面和锥面的交线为一个圆,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知平面的方程平面的点法式方程平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.平面的截距式方程（1）设平面为由平面过原点知平面方程为解平面方程为（通常取锐角）两平面的夹角定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//定义空间直线可看成两平面的交

6、线．空间直线的一般方程空间直线的一般方程方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程直线的参数方程解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程例解过已知直线的平面束方程为应用：过直线L的平面有无数多个，但满足条件的仅仅有1个或两个。例解所求投影直线方程为三重积分的计算(1)先一后二法解2.截面法解利用球面坐标计算三重积分规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标的关系为解补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意

7、：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解曲面面积公式为：１．设曲面的方程为：曲面的面积３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为存在条件：推广对弧长的曲线积分的概念曲线形构件的质量性质对弧长曲线积分的计算定理注意:特殊情形推广:例解2.存在条件：3.组合形式1.对坐标的曲线积分的概念4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.对坐标的曲线积分的计

8、算定理特殊情形例解区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.(