排序、均值、柯西不等式及其应用(不等式(拓展5)

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1、排序、均值、柯西不等式及其应用(不等式(拓展5)排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各冇所长，这里我们先简单回顾一下三个不等式，然后结合具体题忖谈谈它们在不等式证明中的应用。①排序不等式：(i)对于两个有序数组a,a{bn+勺化-1+…+aQ(反序)其中，门2,…人与儿厶…‘人是1，2,・・・n的任意两个排列,当且仅当=。2=•••=色或勺=优=•••=〃“时式中

2、等号成立.(ii)设Ova】

3、+…％为最大.(iv)设0v坷^a}a2--an当仅当a{=a2==an时取等号.n幕平均值不等式:设0

4、・・・+q"加权幕平均值不等式设Pi，P2,…，仇w/?+,Q

5、2设°],&2，・・・卫”wR+，则z、2门2,“2(,24+勺+•••+%]/+°2+•••+《IH丿H49361.设a.b、c为正数,求(d+Z?+c)(—I1)的最小值。abc2、设x,y,zgR,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y+3z之最大值为.3、设x,y,zwR,2x+2y+z+8=0,则(x-l)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为4、空间中一向量刁与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a,卩，丫（a,卩，丫均非象限角）,I49求航+耐+研的最小儆5、设AABC之三边长x,y,z满足x-2y+z

6、=0及3x+y-2z=0,则AABC之最大角是多少度？6、AABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:（宀宀心尙+爲+詁？）'狀7求2sin0+V3cos0sin（

7、）-cos0cos（

8、）的最大值与最小值。—冬入恒成立，求九的范围.+兀久已知正数xyz满足x+y+z=xy厶且不等式++—兀+yy+zZ9、设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值。x+y+z10、设a,b,cg,求证：a5+b5+c5>a3he+b3ca+c3

9、ah>22211、设ci,b,cwRJ求证：—+—+—>V3(n2-FZ?24-c2)abc12、已知齐、x（i=l,2,・・・,n）为任意实数，且>x2>•••>xzi,y}>y2>•••>儿•乂Zl，Z2,…，乙是必」2,…,儿的任意一个排列，试证：£（舛-风）2/=1/=1a+fr+c13、设ab'c是正实数，求证：cibc、（abc）3>3ofzPra2+heb2+cac2+aba,b,cgR，求证:1+a(b+c)b(c+a)c(a+b)15、已知为正实数，且ab+bc+cd=l,证明-^―++<-a22

10、217、已知a,b,c,dwRJ则有—+—+—+—>2V«2+62+c2+^2oabed+b2+c2+l42^216、已知d,b,cw/T,求证：—+—+—>73(6/2+^2+c2)ahc18、求最小的实数m,使得対于满足a+b+c=l的任意正实数a,b,c,都有m(a3+Z?3+c3)>6(/+方2+c?)+1.19、求最人常数k，使kabC<(a+