反函数定义-(3727)

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1、--反函数定义一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=g(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=g(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=g(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^-1(x).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.反函数性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x对称(2)函数存在反函数的充

2、要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;(4)大部分偶函数不存在反函数(唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0},但是y=k(常数)无法通过水平线测试,所以没有反函数。)。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。(5)一切隐函数具有反函数;(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。(8)反函数是相互的且具有唯一性(9)定义域、

3、值域相反对应法则互逆(三反)(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2x例题:求函数3x-2的反函数解:y=3x-2的定义域为R,值域为R.由y=3x-2解得x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是-----y=1/3(x+2)(x属于R)(11)反函数的导数关系:如果X=F(Y)在区间I上单调,可导,且F‘(Y)不等于0,那么他的反函数Y=F’(X)在区间S={XX=F(Y),Y属于I}内也可导,且[F‘([

4、F’(Y)]'。反函数说明⑴在函数x=f’(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y,把它改写成y=f’(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x),那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。⑶互为反函数的两个函数在各自定义

5、域内有相同的单调性。单调函数才有反函数,如二次函数在R内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数。⑷从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f’(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f’(x)的定义域(如下表):函数:y=f(x)反函数:y=f’(x)定义域:AC值域:CA⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映

6、射f^-1所确定的函数y=f’(x)就叫做函数y=f(x)的反函数.反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f’(s)=s/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f‘(x)=x/2-3.有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=x+1/x,需将x进行分类讨论:在x大于0时的情况,x小于0的情况,多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a反函数应用直接求原函数

7、的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域,求反函数的步骤是这样的:1、先求出反函数的定义域,因为原函数的值域就是反函数的定义域;(我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则,所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步)2、反解x,也就是用y来表示x;3、改写,交换位置,也就是把x改成y,把y改成x;4、写出原函数及其值域。-----实例:y=2x+1(值域:任意实数)x=(y-1)/2y=(x-1)/2(x取任意实数)特别地,形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数,它的反函数都是它本身。反函数求解三步骤:1、换:X、Y

8、换位2、解:解出Y3、标:标出定义域---

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