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《第72节差分方程的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一・L一丄9产教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：差分方程扌既念引入、差分方程的定汶及差分方程的阶、差分方程的角军、线.于生差分方程及其角牟白勺纟吉才勾教学目的：理解差分方程及差分方程解的扌既念教学方法：利用多媒体及黑板相纟吉合进行教学教学重点：对两个差分方程白勺定丈白勺理解教学难点：线性差分方程的定义及其解的结才勾1.差分方程概念的引入（引例）例1已知函数yt=/（Z）在（时刻一阶差分为2/,据一阶差分的定义有关系式△力=2t例2某客户在农行开了一个账户，银行按每年付给5%的利息o假设该客户既不加进存款也不取钱，若用Yt表示/
2、年后的存款余额，则紧挨着的两年的存款余额之间的关系为Yt+}*+0.05彳=1.05齐2差分方程的定义及差分方程的阶定义仁含有自变量f,未知函数齐以及未知函数的差分△）}、八升、…的函数方程称为常差分方程，简称为差分方程，也简称为方程。出现在差分方程中的未知函数升的差分的最高阶数，称为该差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为尸（/,兀,/）7,=0其中t为自变量，升为未知函数；F（f,齐,△）”•••,△"”）是人）：，△）»•・•，△'的已知函数关系式,且一定要出现，而等可以不出现。注：如果方程中的未知函数是多元函数（未知函数的差分为偏
3、差分），则称该方称为偏差分方程。教学心得定义2：含有自变量/和未知函数yt的两个或两个以上的函数值力、力+1、的函数方程称为差分方程，简称为方程。这时，称方程中时间脚标的最大差为该差分方程的阶。按此定义，/?阶差分方程的一般形式为其中/为自变量，儿为未知函数；F（f,升，刃+i，是•••,yt^n的已知函数关系式，且兀与yt+n—定要出现，而f，X+i，…，另+”_
4、等可以不出现。注：关于差分方程及其阶数的上述两种定义不是完全等价的。3差分方程的解同微分方程一样，在实际问题中还需找出满足差分方程的函数（解差分方程），即找出这样的函数，将其带
5、入方程中能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该方程的解。一般地，如果函数升=0（r）满足方程（*）,即F（r,0（f）,0（r+1）,…,（p（t+〃））三0（/=0,1,2,…）则称函数力=（p（t）为方程（*）的解。如果方程（*）的解中含有〃（与方程的阶数相同）个相互独立的任意常数，即yt=0（f,C],C2,…，c”）（C],C2，・・・，C〃为川个相互独立的任意常数）这样的解就称为方程（*）的通解。在通解中，当任意常数C],C2，・・・，S取为确定的值而得到的相应的解，称为方程（*）的一个特解。由通解确定差分方程的具有某特点的特解，
6、需要给出确定此特解应满足的附加条件，称为方程的初始条件4线性差分方程及其解的结构•线性差分方程若（*）左端函数F为乳，乳+
7、,…，兀+”的线性函数,则称此方程为斤阶线性（差分）方程。一般形式为>7+72+。1⑴〉'/+—1+•••+如一1⑴力+1+©卫）〉'/=/⑴（1）其中（t）和f（t）均为自变量f的已知函数，且an（r）不恒等于零。如果f（t）=0,称（1）的相应方程升+“+°1（。力+〃_1+・・・+。川_]⑴升+i+cin（t）yt=0（2）为〃阶齐次线性差分方程，简称为齐次线性差分方程。如果/（f）不恒等于零，称方程（1）为/?
8、阶非齐次线性差分方程，简称为非齐次线性差分方程。并且通常称方程（2）为方程（1）的对应齐次方程。如果6（/）=勺_1（/）=an_[,an（t）=an为常数，则有方程yt+n+0升+〃_1+…+Q—1力+i+anyt=f（t）（3）yt+n+。1齐+”-1+・・・+如-1升+1+如力=0⑷称方程（3）为斤阶常系数非齐次线性差分方程，方程（4）为川阶常系数齐次线性差分方程。•齐次线性差分方程的通解结构定理8.2.1"阶齐次线性差分方程（2）一定存在个线性无关的特解.教学心得定理8.2.2（叠加原理）如果旳（/）,『2（。，・・・，％（/）是齐
9、次线性差分方程（2）的£个解，则它们的线性组合y=心（/）+32⑴+•••+"%（/）仍是差分方程（2）的解，其中q,c2,---,Q为£个任意常数。定理8.2.3（通解结构定理）如果y1⑴,y2⑴，…，）5⑴是齐次线性差分方程（2）的斤个线性无关解，则差分方程（2）的通解为V⑴="”（/）+c2y2⑴+…+syn（/）其中C],C2，・・・，S为n个任意常数。教学札i己•非齐次线性差分方程的通解结构性质1如果孑W是非齐次差分方程(D的解，而)心)是其对应齐次差分方程(2)的解，则孑(/)+丿(/)也是方程(1)的解。性质2如果力(/)与y
10、2(r)为非齐次差分方程(1)的解，则它们的差)5⑴一)；2(0为对应齐次差分方程(2)的解。定理8.2.4如果孑(/)是差分方程(1)的一个特解，yc(Z)是其对应齐次差分方程
