2.5 极限存在性和两个重要极限

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1、§2.5极限存在性定理两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限三、小结一、极限存在准则1.夹逼准则（或两边夹法则）准则I如果数列xn,yn及zn满足下列条件:(1)ynnn≤≤xz(n=1,2,3")(2)limy=aza,lim=,nnnn→∞→∞那末数列xn的极限存在,且limxn=a.n→∞本准则可以推广到函数的极限.0准则I′如果当xUx∈()(或

2、

3、x>M)时,有δ0(1)gx()≤fxhx()≤()(2)limgx()=A,limhx()=A,xx→→xx00()或或xx→∞()→∞那末limfx()存在,且等于

4、A.xx→0()或x→∞准则I和准则I'称为夹逼准则.注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与zn,并且yn与zn的极限是易求的.111例1求lim(++"+).n→∞nn22+12++n2nn11n解<++"<,nn2+nn22+1+n2n+1n1又lim=lim=1,n→∞2nn+n→∞11+nn1lim=lim=1,n→∞n2+1n→∞1由夹逼定理得1+n2111lim(++"+)=1.n→∞n2+1n2+2n2+n⎛111⎞Ex.证明limn⎜++"+⎟=1222n→∞⎝n+πn+2πn+nπ⎠证:利用夹逼准则.由22

5、n⎛111⎞n

6、证明数列xn=3+3+"+3(n重根式)的极限存在.xxnn+1=+3证显然xn+1>xn,∴{xn}是单调递增的;又∵x1=3<3,假定xk<3,x=3+x<3+3<3,k+1k∴{x}是有界的;∴limxn存在.nn→∞2∵xn+1=3+xn,xn+1=3+xn,22limxn+1=lim(3+xn),A=3+A,n→∞n→∞1+131−13解得A=,A=(舍去)221+13∴limx=.nn→∞2二、两个重要极限sinx()lim11=x→0xπ0<

7、x注意limcosx=1.x→00注意1）特点是02）sinΔlim=1Δ→0Δtanx例3求极限limx→0xtanxsinx解lim==lim1x→0xx→0xcosxarcsinx例4求lim注意：变量代换x→0x也是一种很有用解令t=arcsinx,则x→0时,t→0.的方法arcsinxt所以lim=lim=1x→0xt→0sint1−cosx例5求lim.2x→0x2xxx2sinsin2sin原式=lim212122121解=lim=lim()=⋅1=.2x→0x2x→0(x)22x→0x22221例6.求lims

8、inx.x→∞x1解:sin1xlimsinx=lim=1x→∞x→∞1xxx−tanx例7.求lim.x→0x+tanxtanx1−解:原式=limx=0x→0tanx1+x1x1n(2)lim(1+=)e,lim(1+)=ex→∞xn→∞n1lim(1+=x)xex→0∞∞特点(1)1型,(10)+1(2)lim(1+)=e→∞1lim(1+)=e→01x例8求lim(1−).x→∞x1−x−1解原式=+lim[(1)]x→∞−x1=.e3+x2x例9求lim().x→∞2+x12x解原式=+lim(1)x→∞x+22x2x

9、lim1（）x+•2=+lim(1)x+2=ex→∞x+2x→∞x+22=e.12∞例10求lim(cosx)x(1)x→0常用的方法解∵x→0时，cosx→11122∴(cosx)x=[1+(cosx−1)]x1cosx−1⋅cosx−1x2=[1+(cosx−1)]1cosx−11又lim[1(cos+−=xe1)]cosx−1,lim=−,x→02x→0x211−2故lim(cosx)x=e2x→0练习lim(1sin)+xcotx.x→0解:cotxlim(1sin)+xx→0cosx1⎡⎤=+lim(1sin)⎢xsi

10、nx⎥x→0⎣⎦=exa−1例11求极限limx→0xx1,x=+tx→0时,t→0.解令at−=则log(1a),且xa−1t1所以lim=lim=limx→0xt→0log(1+t)t→01alog(1+t)at11=lim==lna1t→0logetalo