7 随机系统最优控制

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1、七.随机系统最优控制(StochasticOptimalControl)引言前面都是以确定性系统为基础讨论最优控制问题，而实际上绝对的确定性系统几乎不存在，各种工程系统中总是或多或少地存在不确定性。如何处理系统中的不确定性已经是当前控制理论研究的重要问题。引起不确定性的原因很多，处理的方法也有很多。随机系统控制理论考虑不确定性问题中的随机扰动部分，方法是将确定性控制系统理论与概率论、随机过程理论方法相结合。随机系统最优控制作为随机系统控制理论的重要组成部分，是建立在最优状态估计基础之上的。但由于最优状态估计在其他课程中已有介绍，不是本课程的重点，因此暂且略过。7.4

2、随机系统最优控制随机系统最优控制的两种主要表现形式:最小方差控制——基于输入输出模型随机二次型最优控制——基于线性状态空间模型最小方差控制问题可以看作是随机线性二次型最优控制问题的特例，所以这里只讨论随机线性二次型最优控制问题。(1)系统状态对随机作用的响应设在随机作用下系统状态方程为x(t)A(t)x(t)G(t)w(t)(7-4-1)初始状态为x(t)x(7-4-2)00其中x(t)是n维随机状态向量；x是n维随机初始状态向量，其统计性0能为E[x(t0)]E[x0]0(7-4-3)T(7-4-4)Var[x(t)]E{[x][x]}P(t)

3、P00000x0x0w(t)是m维零均值高斯白噪声过程，统计性能为[(),()][()()T]'()()(7-4-5)CovwtwEwtwQtt1εε,τtτ其中，δ(tτ)ε22为狄拉克δ函数；Q’(t)为动态0,t等于其他值噪声w(t)的协方差矩阵。并设x(t)与w(t)无关，即0[(),()]{[()][()()]T}0(7-4-6)CovxtwExtwtEwt000则可以证明存在下列有关x(t)统计性能的关系式：i)x(t)的均值满足矩阵微分方程d[Ex(t)]A(t)Ex(t)G(t)Ew(t)(7-4-7)dt

4、E[x(t0)]0(7-4-8)ii)x(t)的方差阵满足矩阵微分方程TT(7-4-9)P(t)A(t)P(t)P(t)A(t)G(t)Q'(t)G(t)xxx及初始条件P(t)P均为确定性方程x0x0iii)x(t)的协方差阵为P(t,t)(t,t)P(t)xxT0(7-4-10)P(t,t)P(t)(t,t)xx其中(t,t)为系统(7-4-1)的状态转移矩阵。iv)x(t)与w(t)的协方差阵为(t,t)G(t)Q'(t)01Pxw(t,t)G(t)Q'(t)02(7-4-11)0

5、0对于定常随机系统x(t)Ax(t)Gw(t)x(t)x(7-4-12)00当其具有与上述相同的噪声统计性能时，x(t)的统计性能有类似于上面公式的表达式。当t时Px(t)P，有i’)x(t)的均值满足矩阵微分方程d[Ex(t)]AEx(t)GEw(t)(7-4-7’)dtE[x(t0)]0(7-4-8’)ii’)x(t)的方差阵满足矩阵代数方程APPATGQ'GT＝0(7-4-9’)xxiii’)x(t)的协方差阵为P()()Pxx0(7-4-10’)TP()P()xxiv’)x(t)与w(t)的协方差阵为

6、()GQ'01(7-4-11’)Pxw()GQ'0200(2)系统状态的随机型性能指标仍考虑系统x(t)A(t)x(t)G(t)w(t)(7-4-13)及其初始状态x(t)x(7-4-14)00由于x(t)是在白噪声w(t)作用下动力学系统的响应，是一个随机过程，如果采用与确定性二次型性能指标相同的表示方法，即1T1tfTJx(t)Px(t)x(t)Q(t)x(t)dt(7-4-15)sftff22t0则J就无法象确定性系统那样是一个确定数值，而是一个随机变量。s要求得确定性的性能指标数值，需要考虑用J的数学期望s1T1tfTJEJ

7、E{x(t)Px(t)x(t)Q(t)x(t)dt}sftfft(7-4-16)220作为性能指标。其中Pt为终值项加权矩阵，Q(t)为积分项加权矩阵，f均为对称半正定矩阵。上式可以考虑表示为另外一种形式。'TT首先假定E[x(t0)]00。令Px(t0)E[x0x0]，表示对x0x0取均值，'只在则此时有Px(t)Px(t)Px。μ0=0时成立000nTT再考虑x0x0Tr[x0x0]，其中，Tr[A]ai表示对n×n维方阵A的对i1角线元素a求和。则有i11tfJT{P(t)PP(