最优化与最优控制讲义第7章随机系统最优控制

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1、七．随机系统最优控制以上各章都是以确定性系统为基础讨论最优控制问题，而实际上绝对的确定性系统几乎不存在，各种工程系统中总是或多或少地存在不确定性。如何处理系统中的不确定性已经是当前控制理论研究的重要问题。引起不确定性的原因很多，处理的方法也有很多。随机系统控制理论考虑不确定性问题中的随机扰动部分，方法是将确定性控制系统理论与概率论、随机过程理论方法相结合。随机系统最优控制作为随机系统控制理论的重要组成部分，是建立在最优状态估计基础之上的，因此本章首先讨论最优状态估计问题。7.1最优状态估计（最优线性滤波）—Kalman滤波1．状态估计问题的提法2．离散系统线性滤波—Kal

2、man滤波公式3．白噪声情况下一般线性系统的Kalman滤波公式7.2滤波的稳定性问题1．稳定性的基本概念2．系统的一致完全能观性和一致完全能控性3．滤波稳定性定理4．定常系统滤波稳定性7.3连续系统Kalman滤波1．问题提法2．滤波公式推导方法7.4随机系统最优控制随机系统最优控制的表现形式主要有两种，一种是基于输入输出模型的最小方差控制，另一种是基于线性状态空间模型的随机二次型最优控制。事实上，最小方差控制问题可以看作是随机线性二次型最优控制问题的特例，所以这里只讨论随机线性二次型最优控制问题。1．系统状态对随机作用的响应设在随机作用下系统状态方程为x"(t)=A(

3、t)x(t)+G(t)w(t)(7-4-1)初始状态为x(t0)=x0(7-4-2)其中x(t)是n维随机状态向量；x0是n维随机初始状态向量，其统计性能为E[x(t0)]=E[x0]=µ0(7-4-3)Var[x(t)]=E{[x−µ][x−µ]T}=P(t)=P(7-4-4)00000x0x0w(t)是m维零均值高斯白噪声过程，统计性能为TCov[w(t),w(τ)]=E[w(t)w(τ)]=Q'(t)δ(t−τ)（7-4-5）1εε,τ−

4、0)与w(t)无关，即Cov[x(t),w(τ)]=E{[x(t)−µ][w(t)−Ew(t)]T}=0（7-4-6）000则可以证明存在下列有关x(t)统计性能的关系式：i)x(t)的均值满足矩阵微分方程d[Ex(t)]=A(t)Ex(t)+G(t)Ew(t)（7-4-7）dtE[x(t0)]=µ0（7-4-8）Tii)x(t)的方差阵Px(t)=Var[x(t)]=E{[x(t)−Ex(t)][x(t)−Ex(t)]}满足矩阵微分方程TTP"x(t)=A(t)Px(t)+Px(t)A(t)+G(t)Q'(t)G(t)（7-4-9）及初始条件Px(t0)=Px0iii)

5、x(t)的协方差阵为Px(t+τ,t)=Φ(t+τ,t)Px(t)Tτ≥0（7-4-10）Px(t,t+τ)=Px(t)Φ(t+τ,t)其中Φ(t+τ,t)为系统(7-4-1)的状态转移矩阵。iv)x(t+τ)与w(t)的协方差阵为Φ(t+τ,t)G(t)Q'(t)τ>01Pxw(t+τ,t)=G(t)Q'(t)τ=0（7-4-11）20τ<0对于定常随机系统x"(t)=Ax(t)+Gw(t)（7-4-12）x(t0)=x0当其具有与上述相同的噪声统计性能时，x(t)的统计性能有类似于上面公式的表达式。当t→∞时Px(t)→P，有i’)x(t)的均值满

6、足矩阵微分方程d[Ex(t)]=AEx(t)+GEw(t)（7-4-7’）dtE[x(t0)]=µ0（7-4-8’）ii’)x(t)的方差阵满足矩阵代数方程AP+PAT+GQ'GT＝0（7-4-9’）xxiii’)x(t)的协方差阵为P(τ)=Φ(τ)Pxx（7-4-10’）τ≥0TP(−τ)=PΦ(τ)xxiv’)x(t+τ)与w(t)的协方差阵为Φ(τ)GQ'τ>01Pxw(τ)=GQ'τ=0（7-4-11’）20τ<02．系统状态的随机型性能指标仍考虑系统x"(t)=A(t)x(t)+G(t)w(t)（7-4-13）及其初始状态x(t)=x（7-4-

7、14）00由于x(t)是在白噪声w(t)作用下动力学系统的响应，是一个随机过程，如果采用与确定性二次型性能指标相同的表示方法，即1T1tfTJs=x(tf)Ptfx(tf)+∫x(t)Q(t)x(t)dt（7-4-15）22t0则Js就无法象确定性系统那样是一个确定数值，而是一个随机变量。要求得确定性的性能指标数值，需要考虑用Js的数学期望1T1tfTJ=EJs=E{x(tf)Ptfx(tf)+∫x(t)Q(t)x(t)dt}（7-4-16）22t0作为性能指标。其中Pt为终值项加权矩阵，Q(t)为积分项加权矩阵，均为对称半正