概率论 第五章 数理统计初步

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1、数理统计初步参数估计假设检验数理统计的基本概念§5.1数理统计的基本概念一．总体、样品、样本二．的联合分布四．统计量五．抽样分布返回三．频率分布表与直方图PopulationSampleSamplesizeindependentandidenticallydistributed(i.i.d.)AlliedDistributionTableoffrequencydistributionandhistogramfrequencyhistogramSamplevalueStatisticSamplemeanSamplevarianceCe

2、ntralmomentsOriginmomentsSamplingdistrbutionCriticalvalue证明：因为，故特别的，设两正态总体的参数均未知，样本相应容量分别为且相互独立，样本方差为，则1/1002课堂练习jxhd5-19jxhd5-1§5.2参数估计点估计(Pointestimate)区间估计(Intervalestimate)返回PointestimateMomentsestimateMaximumLikelihoodestimateEvaluatestandard例：设为来自总体的一个样本，总体，其中参数未

3、知，求参数的矩估计。解：由，知令可得从而得的矩估计为解：由题设条件可得令可得从而可得的矩估计量为Meanofcuttingtail几个稳健统计量Samplemedian极大似然估计是点估计的一种重要方法。Likelihoodfunction练习1：设是来自总体的一个样本，且，求的极大似然估计。练习2：某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布。求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率的极大似然估计。使用下面122个观察值。下表中，表示一扳道员某五年内引起严重事故的次数，表示观察到的扳道员人数。012345444

4、221942EvaluatestandardofPointestimateunbiasedestimateunanimityestimateeffectiveestimate4-1IntervalestimateConfidenceinterval图5-54、两个正态总体均值差的区间估计在实际中，经常遇到这样的问题，已知某产品的质量指标服从正态分布，但由于工艺的改变、原料不同、设备条件不同或操作人员不同等因素，引起总体均值、方差有改变，我们需要知道这些改变有多大，这就是所谓两个正态总体均值差、方差比的区间估计问题。先来讨论两个正态总

5、体均值差的区间估计。设和分别是总体的容量为的样本均值、样本方差；和分别是总体的容量为的样本均值、样本方差，并且这两个样本相互独立。因为分别是的点估计，故取为的点估计。由正态分布的性质知，且服从正态分布，即以下就总体的不同情况分别讨论的置信区间，分述如下：（1）若均已知，则已知，即为上述“已知时，求的区间估计”的情形，故构造样本函数对于给定的，由即查标准正态分布表可求得，从而得的置信度为的置信区间是（2），但未知，此时可构造样本函数其中分别为两个样本的样本方差。从而对给定的，由查分布表求得，即得的置信度为的置信区间为（3）当不相等且未

6、知，求的置信区间：①已知且此时，构造样本函数对给定的，由查分布表可得，从而得的区间估计为②当都很大（一般都大于50）此时，可用近似代替，则得的置信度为的近似置信区间为其中，可由查标准正态分布表求得。5.方差比的区间估计设和分别是总体的容量为的样本均值、样本方差；和分别是总体的容量为的样本均值、样本方差，并且这两个样本相互独立。下面求方差比的置信区间。由于分别是的无偏估计（也是一致估计），而且故构造样本函数对给定的，取使满足令由①式查分布表得，进而得到，①②由②式查分布表可得。从而由得的置信度为的置信区间为例：设自总体得一容量为10的

7、样本，其样本均值；自总体得一容量为12的样本，其样本均值，并且两个样本相互独立。求总体均值差的置信度为0.9的置信区间。解：取样本函数对给定的，由查标准正态分布表得又由得从而得的置信度为0.9的置信区间为练习1：为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机的取Ⅰ型子弹10发，得到枪口速度的平均值为，标准差；随机的取Ⅱ型子弹20发，得到枪口速度平均值，标准差。假设两总体都可认为近似的服从正态分布，且由生产过程可认为方差相等，求两总体均值差的95%的置信区间。练习2：为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂，为慎重起见，在实

8、验工厂先进行试验，设采用原催化剂进行了8次试验，得到得率的平均值，样本方差，又采用新的催化剂进行了8次试验，得到，假设两总体都可以认为服从正态分布，且方差相等，两样本独立，试求两总体下的置信度为95%的置信区间。练习3：为了在正常条件