象棋残局中的数学文化

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1、象棋残局中的数学文化1第二节芝诺悖论与无限2一、什么是悖论悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。3例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。4再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。5二、芝诺悖论芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在

2、”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。61.四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。72.症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。3.芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？8芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象

3、，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。9三、“有无限个房间”的旅馆1.“客满”后又来1位客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2345┅k+1┅空出了1号房间102.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2468┅2k┅空下了奇数号房间113.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅10001200023000340004┅10001×k┅给出了一

4、万个、又一万个的空房间124.[思]该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？13四、无限与有限的区别和联系1.区别1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。14当初的伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的。1234567891011…n…↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕149162536496481100121…n2…[该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]15伽

5、利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。162.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立（1）实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c17在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如18有限半群若满足消去律则一定是群。√无限半群若满足消去律则一定是群。×19（2）有限级数一定有“和”。√是个确定的数无穷级数一定有“和”。×则不是个确定的数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。202.联系在“有限”与“

6、无限”间建立联系的手段，往往很重要。1）数学归纳法通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。2）极限通过有限的方法，描写无限的过程。如：；自然数N，都，使时，。213）无穷级数通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如4）递推公式,a1=*5）因子链条件（抽象代数中的术语）223.数学中的无限在生活中的反映1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的（整体看又是圆的）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的）233）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则图形

7、的面积→不规则图形的面积？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准24法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩形面积之和~曲边梯形面积；越小，就越精确；再取极限，就得到曲边梯形的面积。25五、潜无限与实无限1．潜无限与实无限简史潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。26从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，

8、可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。27但康托不同意这一观点，他很愿意