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1、浅谈函数的对称性刘邦函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而口利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数Z间的对称性这两个方面來探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1•函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a—x)=2b证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,・・•点P(x,y)关于点A(a,b)的对
2、称点P(2a-x,2b—y)也在y=f(x)图像上，2b-y=f(2a~x)即y+f(2a—x)=2b故f(x)+f(2a—x)=2b,必要性得证。(充分性)设点P(x(),y())是y=f(x)图像上任一点，则y()=f(x0)•/f(x)+f(2a—x)=2b・°・f(X。)+f(2a—X。)=2b,即2b—yo=f(2a—xo)。故点P*(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P‘关于点A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(—x)=0定理2・函数y二f(x)的图像关于直线x=a对称的充要
3、条件是f(a+x)=f(a—x)即f(x)=f(2a—x)(证明留给读者)推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(―x)定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(aHb),则y=f(x)是周期函数,且21a—bl是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(aMb),则y二f(x)是周期函数，且2la-bl是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(aHb),则y=f(x)是周期函数，且41a—bl是其一个周期。①②的证明留给
4、读者，以下给出③的证明：・.•函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成屮心对称，/.f(x)+f(2a—x)=2c,用2b—x代x得：f(2b—x)+f[2a—(2b—x)]二2c(*)又・・•函数y=f(x)图像直线X=b成轴对称，・・・f(2b-x)=f(x)代入(*)得：f(x)=2c-f[2(a-b)+x](**),用2(a—b)—x彳弋x得f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得：f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数，且41a—bl是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f(x)与y=2b—f(2a
5、—x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a—x)的图像关于直线x=a成轴对称。%1函数y二f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。%1函数y二f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。定理4与定理5屮的①②证明留给读者，现证定理5屮的③设点P(xo,yo)是y=f(x)图像上任一点，则yo=f(x())。记点P(x,y)关于直线X—y=a的轴对称点为P(xi，yi),则Xi=a+y0,yi=x0—a,Ax0=a+yi,yo=X]—a代入y0=f(x0)之中得x】一a=f(a+yj.:点P
6、'(xi，y】)在函数x—a=f(y+a)的图像上。同理可证：函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y二f(x)的图像上。故定理5中的③成立。推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。三、三角函数图像的对称性列表函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kn,0)x=kn+n/2y=cosx(kn+n/2,0)x二kny=tanx(kn/2,0)无注：①上表中kGZ②y=tanx的所冇对称中心坐标应该是(kn/2,0),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高屮数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广
7、西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kn,0),这明显是错的。四、函数对称性应用举例例1：定义在R上的非常数函数满足:f(10+x)为偶函数，且f(5—x)=f(5+x),贝'Jf(x)-定是()(第十二届希望杯高二第二试题)(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：・・・f(10+x)为偶函数，・・・f(10+x)二f(10—x)・・・・f(x)有两条对称轴*=5与*=10,因此f(x)是以10为其一
