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1、浅谈的函数对称性张兴红函数是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的对称性是函数的一个基本性质，是高考考查的重点内容。现在就函数的对称性性质作如下介绍：一、函数的图像关于点对称例1求证：函数的图像关于点P()对称的充要条件是证明：（必要性）设点)是图像上任一点，∵点关于点P()的对称点也在图像上，∴即故.（充分性）设点是图像上任一点，则∵∴，即故点也在)图像上，而点P与点‘关于点P()对称.结论：函数的图像关于原点O对称的充要条件是.二、函数的图像关于直线对称例2.函数的图像关于直线对称的充要条件是即必要性：∵函数的图像关于直线对称∴的图像上任意一点A关于的对称点∴令∴f(a+t
2、)=f(2a-(a+t))=f(a-t)对任意都成立充分性：∵对定义域内的任意，都有成立∴对图像上任一点令∴点关于的对称点)也在的图像上函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)无∴函数的图像关于直线对称综上：函数f(x)的图像关于直线对称的充要的条件是对定义域内的任意都有成立。结论：函数的图像关于y轴对称的充要条件是函数的图像与的图像关于直线=成轴对称例3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2
3、a－b
4、是其一个周期。②若
5、函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2
6、a－b
7、是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4
8、a－b
9、是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f[2(a－b)+x
10、]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4
11、a－b
12、是其一个周期。三、三角函数图像的对称性列表注：①上表中k∈Z②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，四、函数对称性应用举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=
13、f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=
14、2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001故f(4)=2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－x，则f(8.6)=_________解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（）(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=解：函数y=sin(2x+)的图像的
15、所有对称轴的方程是2x+=k+∴x=－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－故选(A)例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴
