2.4.1 反函数(一)

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1、课题：2.4.1反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识

2、它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程：一、复习引入：1.复习提问函数的概念和三要素。（）2.在数学中处处存在着互逆现象，象原命题、逆命题等等，那么在函数

3、中有没有这种互逆现象呢？3.让我们来看一个具体例子：物体作匀速直线运动的位移s=vt,这里t是自变量，s是t的函数，如果我们把s作为自变量，t作为s的函数，应该怎样表示呢？(t=s/v),这两个函数有什么关系呢？这两个函数是互逆的，可见函数间也存在着互逆现象，这就是今天我们要研究的反函数（板书课题）。（衔接语：那么什么叫反函数呢？我们来看一个具体例子。）4.函数y=2x+6(x∈R),x是自变量，y是x的函数，为了大家便于理解，我们设它的定义域为A={1，2，3}，则它的值域为C={8，10，12}

4、，那么我们可不可以把y作为自变量，x作为函数呢？我们从式子y=2x+6中解出x=(y-6)/2(y∈R),这样对于y在C={8，10，12}中的任何一个值x在A={1，2，3}中都有唯一的值和它对应，所以我们可以把y作为自变量，x作为y的函数，我们把这样的函数，即函数x=(y-6)/2(y∈C)叫做函数y=2x+6(x∈A)的反函数。一般情况下，我们也把函数y=2x+6(x∈A)叫做函数x=(y-6)/2(y∈C)的反函数。（注：这个例子后面还要用到，注意书写位置）（衔接语：下面我们就结合这个具体的

5、例子来看看反函数的定义）二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).

6、

7、若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。

8、

9、这样的函数x=(y)(yC)叫做函数的反函数。（补充说明：函数也叫做反函数x=(y)(yC)的原函数）)记作,习惯上改写成。（注：这里先留着，待后面讲问题二时在回过头来书写。）这个定义看起来很长，很繁杂，但我们可以把它大致分为如上三

10、个层次。其中，第一个层次简单向我们交待原来的函数，并要求我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).第二个层次对x=(y)进行了严格限制。第三个层次开始下结论，满足第二个层次中所有要求的那个新的函数叫做原来那个函数的反函数。下面请同学们结合这个定义来看看以下几个问题问题一：对于任意一个函数来说一定有反函数吗？（强调反函数首先得是函数）（板书）1.对于任意一个函数不一定有反函数。(举例)问题二：是不是根据函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到的x=(y)，是函数，那它就一定是函数

11、的反函数呢？（根据定义的第二层次，强调原函数和反函数定义域和值域的关系）原函数反函数定义域AC值域CA（板书）2.（举例：请同学们判断以下说法是否正确，函数的反函数是）正是由于原函数与反函数在对应关系，定义域与值域上存在着很多密切的联系，所以我们以后都把记作，这里的和x=(y)中的只是在写法上有所不同，但在作用和地位上都是完全一样的。同时这里的是一个对应关系，绝对不能理解为负指数，也就是说。采用记号后，你们对反函数的表示法有没有感到不协调的地方？（与习惯不符，用x作为自变量，用y作因变量。）（以前面

12、第四条中的例子为例，说明这样改进后的写法不影响函数的对应关系，定义域与值域，所以与是相同的函数，它们都是的反函数。以后，凡不特殊说明，函数y=f(x)的反函数都是指这种改写过的形式。）问题三：已知函数的反函数为，那么的反函数为什么函数？（板书）3.与互为反函数。（结合前面第四条中的例子简要说明）（衔接语：以上我们研究了反函数的定义，那么如何根据定义来求一个函数的反函数呢？）（注：讲到这里大约30分钟）反函数的求法例1．求下列函数的反函数：①；解：由y=+1解得x=,∵