数字信号处理z变换.pdf

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1、第第33章章zz变换变换••3.03.0引言引言••3.13.1zz变换变换••3.23.2zz变换收敛域的性质变换收敛域的性质••3.33.3zz反变换反变换••3.43.4zz变换收敛域的性质变换收敛域的性质••3.53.5小结小结3.03.0引言引言傅里叶变换非常重要傅里叶变换非常重要傅里叶变换不是所有序列都收敛。傅里叶变换不是所有序列都收敛。ZZ变换概念比傅里叶变换更简单。变换概念比傅里叶变换更简单。离散时间信号的离散时间信号的ZZ变换和连续时间信号变换和连续时间信号的拉普拉斯变换相对应。的拉普拉斯变换相对应。3.1

2、3.1zz变换变换••序列序列xn[]∞••其傅里叶变换其傅里叶变换Xe()jω=∑xne[]−jnωn=−∞∞−n••ZZ变换变换Xz()=∑xnz[]n=−∞••其中其中zz为复变量，是一个以实部为横坐标，为复变量，是一个以实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面上的变量，这个虚部为纵坐标构成的平面上的变量，这个平面也称平面也称zz平面。平面。••ZZ变换算子变换算子••双边双边zz变换变换∞−nX(z)=∑x[n]zn=−∞••单边单边zz变换变换∞−nX(z)=∑x[n]zn=0x[n]=0仅当仅当n<0n<0时时，双边

3、，双边==单边单边可以把单边可以把单边zz变换看成是双边变换看成是双边zz变换的一种特例，变换的一种特例，即因果序列情况下的双边即因果序列情况下的双边zz变换。变换。ZZ变换和傅里叶变换的关系变换和傅里叶变换的关系jωzr=e∞∞−−nn−jωnXz()==∑∑xnz[]xnre[]nn=−∞=−∞对于对于z=1两者相同。即傅里叶变两者相同。即傅里叶变换是换是ZZ变换的特例变换的特例此时在此时在zz平面上是一个半径为平面上是一个半径为11的圆，称为的圆，称为单位圆单位圆••ZZ变换的收敛域变换的收敛域一般，序列的一般，序列的

4、ZZ变换并不一定对任何变换并不一定对任何zz值值都收敛，都收敛，zz平面上使上述级数收敛的区平面上使上述级数收敛的区域称为域称为““收敛域收敛域””ROCROC。。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此值可和，因此zz平面的收敛域应满足平面的收敛域应满足∞−n∑x[n]r<∞n=−∞∞∞−n−n因为对于实数序列，因为对于实数序列，∑x[n]z=∑x[n]z<∞n=−∞n=−∞因此，因此，

5、z

6、

7、z

8、值在一定范围内才能满足绝对值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为可和条

9、件，这个范围一般表示为RR〈〈

10、

11、z

12、z

13、〈〈RRx-x+jIm[z]Re[z]Rx+Rx−这就是收敛域，一个以R和R为半径的x-x+两个圆所围成的环形区域，R和R称为x-x+收敛半径，R和R的大小，即收敛域的x-x+位置与具体序列有关，特殊情况为R或x-R等于0，这时圆环变成圆或空心圆。x+••ZZ变换的表示方法变换的表示方法––级数形式；级数形式；––解析表达式（注意只表示收敛域上的解析表达式（注意只表示函数，同时要注明收敛域）。。P(z)X(z)=Q(z)••零点：使零点：使X(z)=0X(z)=0的的zz值值称为称为

14、X(z)X(z)的的零点。零点。••极点：使极点：使X(z)X(z)无穷大的无穷大的zz值值称为称为X(z)X(z)的的极点。极点。••11））右边序列右边序列（即序列在（即序列在nan=01−azz−ajIm[z]••零点零点00••极点极点aa••当当a>1aRe[z]––傅里叶变换不收敛傅里叶变换

15、不收敛z−*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。••22）左边序列）左边序列（即序列在（即序列在n>N2>−∞为为00））nxn[]=−aun[−−1]∞−1nn−−1nXz()=−∑∑aun[−−1]z=−(az)nn=−∞=−∞∞∞−−11nn−=−∑∑()1()az=−aznn==10––收敛域收敛域∞−1n∑()az<∞n=0−1az<1••收敛域内收敛域内11zX(z)=1−==z

16、收敛••两个序列的和两个序列的和nn⎛1⎞⎛1⎞x[n]=⎜⎟u[n]+⎜−⎟u[n]⎝2⎠⎝3⎠––收敛域收敛域z>2/1且且z>3/1––所以所以z>2/1––收敛域内收敛域内••33）双边序列）双边序列nn⎛1⎞⎛1⎞x[n]=⎜−⎟u[n]−⎜⎟u[−n−]1⎝3⎠⎝2⎠––利用利