常微分方程1.2.ppt

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1、§1.2基本概念定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.都是常微分方程1.常微分方程如如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.2.偏微分方程如都是偏微分方程.定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.是一阶微分方程；是二阶微分方程；是四阶微分方程

2、.二、微分方程的阶如:n阶微分方程的一般形式为是线性微分方程.三线性和非线性如1.如果方程是非线性微分方程.如2.n阶线性微分方程的一般形式不是线性方程的方程称为非线性方程四微分方程的解定义4例2证明:1显式解与隐式解相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.例如有显式解:和隐式解:2通解与特解定义5如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:n阶微分方程通解的一般形式为注1:例3证明:由于故又由于注2:注3:类似可

3、定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如定义63定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.注1:n阶微分方程的初始条件有

4、时也可写为注2:例4解由于且解以上方程组得思考1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、微分方程是否一定有解？3、通解是否一定包含了全部解？4、所有方程都有通解吗？（3）通解不一定包含所有的解（1）有些方程无解（2）方程可能有解而没有通解五积分曲线积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.六、微分方程组定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。Lorenz方程(1.18)高阶微分方程的另一种形式（如果可能！）如果把都理解为未知函数，并作变换上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式其中　　　　均为向量函

5、数．七、驻定与非驻定、动力系统如果方程组的右端不含自变量，即则称为驻定（自治）的，否则就称为非驻定的（非自治）的。注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统。动力系统分为连续和离散系统两种类型，对应有连续动力系统和离散动力系统。注：记为单参数的的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：和八、相空间、奇点和轨线把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间；积分曲线在相空间中的投影称为轨线；把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解（驻定解、常数解）或奇点（平衡点）九、雅可比矩阵与函数相关性

6、对于个变元的个函数定义雅可比矩阵为当时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为常微分方程是一门具有悠久历史的学科，几乎与微积分同时诞生于1676年前后，至今已有300多年的历史了。在常微分方程发展的初期阶段，人们主要是针对实际问题提出的各种方程，用积分的方法求其精确的解析表达式，这就是人们常说的初等积分法。这种研究方法一直延续到1841年前后，其历史有160多年。促使人们放弃这一研究方法的原因，归结1841年刘维尔(Liouville1809-1882)的一篇著名论文,他证明了大多数常微分方程不能用初等积分法求解。发展简介在刘

7、维尔这一工作之后，常微分方程进入了基础定理和新型分析方法的研究阶段，其主要代表性工作是：1.19世纪中叶，主要由柯西等人完成的奠定性工作：解的存在唯一性定理，以及拉格朗日等人对线性常微分方程的系统性研究工作。2.19世纪末，20世纪初，由庞卡莱和李雅普诺夫分别创立了常微分方程定性理论和稳定性理论，这些工作的主要特点是不用求出方程的解，可直接从方程本身讨论其解的性质，这代表了一种崭新的研究非线性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影响到今天…目前，本科教材大都是反映以上这一阶段中的一些解法和基本理论。作业P274