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1、§7.5曲面及其方程一、曲面方程的概念二、柱面四、二次曲面三、旋转曲面五、小结水桶的表面、台灯的罩子面等.曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.1、曲面方程的定义曲面的实例:一、曲面方程的概念若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上任一点的坐标都满足此方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足此方程,则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形.2、常见曲面的方程解则由题意知∴所求球面方程为若球心在原点,则球面方程为例1建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程.设M(x,y,z)是球面上的任一点,即则
2、由题意知∴所求平面方程为解例2设有点A(1,2,3)和B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.设M(x,y,z)为所求平面上的任一点,即(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;以上几例表明,研究空间曲面有两个基本问题:(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）例3方程表示怎样的曲面?原方程可化为解∴原方程表示球心在点M0(1,-2,0)、半径为R=的球面.说明:如下形式的三元二次方程都可通过配方来研究它的图形,其图形可能是一个球面,或者点,或者虚轨迹.二、柱面引例方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程
3、解表示圆C,沿圆周C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为故在空间过此点作圆柱面.对任意z,点平行z轴的直线l,表示圆柱面.在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,在xOy面上,播放定义:直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹称为柱面.定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.观察柱面的形成过程:柱面举例抛物柱面平面柱面的特征:（其他类推）实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.三、旋转曲面定义:以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称
4、为旋转曲面,旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴.播放设M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点,设在yOz坐标面上有一已知曲线C,它的方程为将这曲线绕z轴旋一周,就得到一个以z轴为轴的旋转曲面.则有当曲线C绕z轴旋转时,点M1(0,y1,z1)绕z轴转到另一点M(x,y,z),这时(1)z=z1;(2)点M到z轴的距离为将代入f(y1,z1)=0,得这就是所求旋转曲面的方程.同理,曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为由此可知,在曲线C的方程f(y,z)=0中将y改成,便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面称为圆锥面.两直
5、线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角α()称为圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为α的圆锥面的方程.解∴所求圆锥面的方程为在yOz坐标面上,直线L的方程为∵旋转轴为z轴,或其中a=cotα.例5将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.旋转双曲面(1)双曲线分别绕x轴和z轴;若绕x轴旋转,则得若绕z轴旋转,则得旋转椭球面旋转抛物面(2)椭圆分别绕y轴和z轴;若绕y轴旋转,则得若绕z轴旋转,则得(3)抛物线绕z轴.若绕z轴旋转,则得四、二次曲面三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面称为二次曲面.相应地,平面被称为一次曲面.1、二次曲面的定义
6、其基本类型:椭球面、抛物面、双曲面、锥面.2、研究二次曲面性状的截痕法平面z=t与曲面F(x,y,z)=0的交线称为截痕.通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法.1、椭球面(1)范围由方程可知即这说明椭球面包含在由平面x=±a,y=±b,z=±c围成的长方体内.椭圆(2)椭球面与三个坐标面的交线:椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.(3)截痕:同理,椭球面与平面x=x1和y=y1的交线为椭圆,椭球面与平面z=z1的交线为椭圆椭球面的几种特殊情况:(旋转椭球面),由椭圆绕轴旋转而成,方程可写为①若a=b,则椭球面变为(球面),截面上圆的方程方程可写为②若a=b=c,则椭球面变为
7、旋转椭球面与椭球面的区别:与平面的交线为圆,2、抛物面原点也叫椭圆抛物面的顶点.①用坐标面xOy(z=0)与曲面相截,得坐标原点O(0,0,0).与平面z=z1(z1>0)的交线为椭圆与平面z=z1(z1<0)不相交.(1)椭圆抛物面当z1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上.②用坐标面xOz(y=0)与曲面相截,得抛物线与平面y=y1的交线为抛物线它的轴平行于z轴,顶点为③用坐标面yOz(x=0),平面x=x1与曲面相截,均可得抛物线
