克莱姆法则课后习题.ppt

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1、引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．定理(Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.D=D=1关于代数余子式,还有下列定理行列式的任一行(列)的所有元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之各等于零.或定理2即(ij)2机动目录上页下页返回结束关于代数余子式的重要性质3§4克莱姆法则二、重要定理三、小结思考题一、克莱姆法则4机动目录上页下页返回结束设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.非

2、齐次与齐次线性方程组的概念5(克莱姆法则)设n个变量n个方程的线性方程组为(4.1)………………定理1如果系数行列式则方程组(4.1)有唯一解,且解可表示为6其中Di(i=1,2,,n)是用常数项b1,b2,…,bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式,即i=(1,2,…,n)7机动目录上页下页返回结束证明在把个方程依次相加，得8机动目录上页下页返回结束由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解9结论1.若线形方程组（4.1)系数行列式D0，则它一定有唯一解.等价若线形方程组（4.1)无解或有两个不同解，则必有系

3、数行列式D=0.(4.1)………………克莱姆法则可叙述为：10在方程组(4.1)中,若b1=b2=…=bn=0,即…为齐次线性方程组，而(4.1)称为非齐次的线性方程组.显然x1=x2=…=xn=0是(4.2)的解(零解).(4.2)11关于齐次方程组(4.2)还有下列结论：结论1.若系数行列式D0，则它只有零解.结论2.若齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0.12例1.求解线性方程组故13机动目录上页下页返回结束例2.用克莱姆法则解方程组解14机动目录上页下页返回结束15机动目录上页下页返回结束16例3问为何值时，齐次线

4、性方程组有非零解?分析如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0。由D=0不难验证：将2，5，8代入齐次线性方程组确有非零解171819.解一：利用行列式的性质使得行列式中零尽量的多20解二：行（列）和相等2122235（4）24按某行（列）展开后，行列式的结构不发生变化（递推）255计算n(n2)阶行列式解：设行列式为D，则26解:将其直接按第一列展开,得计算n阶行列式6.27解:(i2)计算n阶行列式7.28第一章行列式习题课29机动目录上页下页返回结束30机动目录上页下页返回结束把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的

5、全排列（或排列）．个不同的元素的所有排列的种数用表示，且．一、全排列31机动目录上页下页返回结束逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．二、逆序数32机动目录上页下页返回结束定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．三、对换33机动目录上页下页返

6、回结束四、n阶行列式的定义34机动目录上页下页返回结束行列式的三种表示方法注35机动目录上页下页返回结束五、n阶行列式的性质36机动目录上页下页返回结束37机动目录上页下页返回结束1)余子式与代数余子式六、行列式按行（列）展开38机动目录上页下页返回结束2)关于代数余子式的重要性质39机动目录上页下页返回结束七、克莱姆法则40机动目录上页下页返回结束克莱姆法则的理论价值定理定理41机动目录上页下页返回结束定理定理42机动目录上页下页返回结束1.用定义及性质计算（证明）2.利用范德蒙行列式计算3.用化三角形行列式计算4.用降阶法计算

7、5.用递推法计算43