行列式按行按列展开.ppt

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1、例3（n阶行列式的计算）12例4箭形行列式目标：把第一列化成三角形行列式3例5箭形行列式45例6（可以化为箭形行列式）67问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？（降阶的思想）§1.3行列式按行（列）展开定理一.按行列式某行(列)展开8可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。问题：一个n阶行列式如何转化为n个n-1阶行列式来计算？首先介绍两个概念9定义1在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫做元素的余子式。记为称为元素的代数余子式。例如10注意行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。11行

2、列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理1证明（先特殊，再一般）分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。(1)假定行列式D的第一行除外都是0。12由行列式定义，D中仅含下面形式的项其中恰是的一般项。所以，13(2)设D的第i行除了外都是0。把D转化为(1)的情形把D的第行依次与第行，第行，······，第2行，第1行交换；再将第列依次与第列，第列，······，第2列，第1列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤。14由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，得，15(3)一般情形16例如，行列式按第一行展开，得17行列式任一行（列）的元素与

3、另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即定理2：证明由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素定理218则第i行右端的行列式含有两个相同的行，值为0。19综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。注意20利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的

4、性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。21思考题求第一行各元素的代数余子式之和解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成22例6利用递推公式计算n阶行列式23解将Dn按第一列展开于是，得递推公式而由递推公式，得继续递推公式，得24故也可按最后一行展开（自己作为练习）25练习：26解：先将各列加到第一列272。28例3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式29证明用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立。(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，证明n阶也成立。30证毕。31二.拉普拉斯（Lap

5、lace)展开定理定义1.4在n阶行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),称位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D中的相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式。32称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的相对位置所组成的n-k阶行列式M为N的余子式;若N所在的行与列的行标与列标分别为33及则称为N的代数余子式，记作A例9设则D的位于第1、3行，第2、3列的2阶子式为34N1的代数余子式为D的位于第1、3、4行，第2、3、4列的3阶子式为N2的代数余子式为35显然，n阶行列式D位于某k行的k阶子式有个，从而D共有个k阶子式。定理1.3n阶行列式D等于其位

6、于某k行的所有k阶子式与其对应的代数余子式，A1,A2,┄,At的乘积之和，即36显然，定理1.2是定理1.3中k=1时的特例。按照定理1.3展开行列式似乎很繁，但当行列式的某些行中有众多的零时，定理1.3的实用价值立即展现出来。例10计算解因D中第2、4行的个2阶子式中只有一个是非零的。故将D按第2、4行展开得37例11计算m+n阶行列式38解按前m列展开，得39例12计算2n阶行列式(其中未写出的元素皆为零）解按第1、2n行展开，因位于这两行的全部2阶子式中只有1个（即位于1、2n列的2阶子式可能非零且其余子式恰为0),相应的代数余子式为40故得于是，得递推公式从而

7、41