亥姆霍兹线圈仿真.docx

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1、题目：为了获得一定区域上的匀强磁场，可采用多组Helmholtz线圈结构。一种两对线圈的结构如图1所示。线圈半径a1，a2，线圈间距h1，h2，以及线圈中通过电流i1，i2可变化量，如图1（a）所示。为了定量衡量关注区域的磁场均压程度，过轴线做截面ABo1o2，取CD=0.8×AB和Eo3=0.8×Ao3，在CD和Eo3线段上每边均匀取20采样点，从而形成如图1（b）所示的采样节点，定义z方向B的不均压系数为：其中，为所有采样点的z方向磁感应强度平均值；为第n个采样点的z方向磁感应强度值。N为采样点总数。定义参数：，。问题：如果规定，问、、如何取值可以使得最小，即

2、关注区域磁场“最均匀”。(a)线圈结构示意图（b）磁场采样节点示意图图1.两对线圈产生匀强磁场示意图仿真要求：1)写出给定起点、终点、场点坐标，编制空间中一载流直线段在任意观察点的磁感应强度计算程序。2)写出单个圆环线圈空间任意点磁感应强度的计算程序，并进行验证。3)复习Matlab中优化工具箱的使用。二、仿真与分析：（一）、一载流直线段在任意观察点的磁感应强度1、理论分析：如图，在直角坐标系内，设坐标原点为AB中点，AB在z轴上，起点A(0,0,-L/2)，终点B(0,0,L/2)。根据书中例3-1的结论可知，对于通过电流I的直导线AB，任意观察点P(x,y,z

3、)到AB的距离为R，作观察点P到AB的垂线交于点H，则P点处产生的磁感应强度B为B=μ0I4πRsin∠APH-sin∠BPHα0图1-1又有sin∠APH=cos∠Asin∠BPH=-cos∠B故B=μ0I4πRcos∠A+cos∠Bα02、仿真分析：.PAB为了提高计算效率，这里编程用matlab计算时需用离散的方式来计算磁感应强度：先计算一小段直导线dl在观测点处产生的磁场强度dB，再用叠加的方法，求出整段载流直线段在观测点处的磁场。如：要算一小段载流导线AB在P处产生的磁场时，根据毕奥-萨伐尔定律，dB=μ0Idl×r4πr3图1-2这里，由于AB是一小段

4、载流导线，可做一个近似运算：dB=1/2(μ0Idz×BP4πBP3+μ0Idz×AP4πAP3)由此，可得到整一段载流导线在观测点P处产生的磁场为：B=dB根据以上分析，得到计算一载流直线段的matlab程序如附表。现验证这种算法得到的结果与理论分析得到之间的误差：以图1-1为例，假设HA=7，HB=3，HP=5，假设电流I=1A。则：（1）由理论推导得到的公式计算：B=4π×10-7×14π×5×752+72+352+32=2.6564584×10-8而由matlab用叠加的方法来计算时，将AB分成每段长度为0.001的小段来计算和叠加，算得的结果为：B=2.

5、6564577。两者相对误差低达10-7级别，可见这种算法与理论分析得到的解析解几乎相同，所以算法合理。还可以做出这种方法下在一平面上电磁场的分布情况的图像，如下图1-3：图1-3由图可看出，B的方向与电流方向符合右手螺旋定则，箭头的长度代表磁感应强度的大小，可以看到，越靠近载流线处B越大。结果合理。（二）单个圆环线圈空间任意点磁感应强度：1、理论推导：对于单圆环线圈所产生的磁场情况，由于此次仿真研究的问题是在平行于圆环平面上的磁场不均匀程度，即如下图2-1，对磁感应强度z轴分量BZ进行不均压度分析，则只需关注在xoy平面上点的BZ，推导过程如下：图2-1建立直角

6、坐标系如上图，以圆环圆心为坐标原点，圆环在XOY平面上，则根据对称性我们可以得到，取观察点P（a,0,z）有以下关系：dB=μ0Idl×r4πr3dl=(-Rsinαdα,Rcosαdα,0)r=(a-Rcosα,-Rsinα,z)dl×r=ijk-RsinαdαRcosαdα0a-Rcosα-Rsinαz得到：Bx=μ0IR4π02πzcosαr3dαBy=μ0IR4π02πzsinαr3dαdBz=μ0IR4π02πR-xcosαr3dα其中，r=R2+a2+z2-2xRcosα2、仿真与分析：（2-1）小段电流元叠加法：根据（一）中得到的结果，可用分小段叠加

7、的方法来求得一段载流导线在空间产生的电磁场情况，此处，所谓的小段电流元叠加法，就是采取这种方法，根据以直代曲的方法，以等边多边形来代替圆，这样通过多边形的各边产生的电磁场的叠加，即可得到圆形载流线圈在空间产生电磁场的情况。具体实现程序见附表。（2-2）梯形积分法求解：理论分析已经得到了圆形载流线圈在空间分布的计算公式，可在matlab中用梯形积分的方法对该情况下的磁场的分布。具体编程见附表。【小结】以上所述两种方法都可得到单个圆形载流线圈在空间的分布情况。以下探讨这两种方法的精度和运算速度，以确定后面进行多个线圈的磁场求解时求解方法的选择。在线圈轴线上，线圈轴线上

8、的磁场理论