ch-半群与独异点.ppt

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1、半群与独异点的定义定义一个代数系统，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，半群：运算*是可结合的独异点：(1)运算*是可结合的(2)存在单位元说明：任何半群都可以扩张成独异点表示式中可以省略运算符半群与独异点的举例是半群，+是普通加法；，，，是独异点；设n∈Z+,和都是独异点；为独异点，其中为集合的对称差运算；为独异点，其中Zn＝{0,1,…,n-1},+n为模n加法；为独异点

2、，其中为函数的复合运算；为半群,其中R为非零实数集合,x,y∈R,xy＝y半群与独异点性质幂运算的定义半群独异点a1=aa0=ean+1=ana性质：（1）定理1幂运算的等式anam=an+m(an)m=anm（2）结合律（3）有限半群必存在幂等元（证明见后）（4）独异点运算表中任何两行或两列都是不相同的。如，，m3=m+m+m=3m实例1例1V=为半群，任取a,b∈S,如果ab=ba,则有a=b，证明(1)V中成立幂等律(2)∀a,b∈V,aba=a(3)∀a,b,c∈V,ab

3、c=ac证(1)(aa)a=a(aa)⇒aa=a(2)(aba)a=ab(aa)=abaa(aba)=(aa)ba=aba故(aba)a=a(aba)⇒aba=a(3)(abc)(ac)=(ab)(cac)=abc(ac)(abc)=(aca)(bc)=abc故(abc)(ac)=(ac)(abc)⇒abc=ac实例2例2设集合Sk={x

4、x∈I,x≥k}，k≥0，验证是一个半群，其中+是普通的加法运算。解x,y∈Sk，x≥k，y≥k，k≥0，有x+y≥k，所以运算+是在Sk上封闭的。已知普通加法运算是可结

5、合的。所以是一个半群。思考：若没有条件k≥0，一定是半群吗？为什么?实例3例3设S={a,b,c}，在S上的一个二元运算定义如表所示。验证是一个半群。解从表中可知运算是封闭的。a,b和c都是左幺元。x,y,z∈S，有x(yz)=xz=z=yz=(xy)z因此，运算在S上是可结合的。故是一个半群。abcabcabcabcabc子半群、子独异点定义：子半群：半群的子代数子独异点：独异点T的子代数子半群、子独异点B的判别：（1）非空子集B，（2）B对于V中的运算

6、（含0元运算）封闭.定理2若干子半群的非空交集仍为子半群；若干子独异点的交集仍为子独异点.子集B生成的子半群定义：V=为半群,B⊆S,包含B的最小的半群称为由B生成的子半群，记作.=∩{A

7、A是S的子半群，B⊆A}实例例4V=半群，B={4,6},={4i+6j

8、i,j∈N,i和j不同时为0}={4,6,8,10,12,14,16,…}=2Z+−{2}例5Σ有穷字母表，Σ+为非空字的集合,Σ*为字的集合。a1a2…an=b1b2…bn⇔a1=b1,a2=b2,…,an=bn每个

9、字可以唯一分解为Σ中的元素之积Σ+上的连接运算满足结合律，V=<Σ+,⋅>构成半群，称为Σ上的自由半群，Σ为这个自由半群的生成元集，即<Σ>=V.如果包含空串则Σ*构成自由独异点.半群独异点的直积、商代数、同态半群与独异点的直积半群的直积仍是半群独异点的直积仍是独异点半群与独异点的商代数半群,商半群独异点，商独异点半群与独异点的同态和同构半群f(xy)=f(x)f(y)独异点f(xy)=f(x)f(y),f(e)=e’半群的同态性质定理3设V=为半群，

10、V’=，∘为合成，则V’也是半群，且存在V到V’的同态.证：fa:S→S,fa(x)=a∗xfa∈SS,且{fa

11、a∈S}⊆SS,令ϕ：S→SS,ϕ(a)=fa,ϕ(a∗b)=fa∗b,ϕ(a)∘ϕ(b)=fa∘fb为证同态只需证明fa∗b=fa∘fb∀x∈S,fa∗b(x)=(a∗b)*x=a∗b*xfa∘fb(x)=fa(fb(x))=fa(b*x)=a*(b*x)=a∗b*x独异点的表示定理定理4设V=为独异点，则存在T⊆SS,使得同构于证：令ϕ：S→SS,ϕ

12、(a)=fa,则ϕ(a*b)=ϕ(a)◦ϕ(b)ϕ(e)=fe=IS,ϕ为独异点V到的同态ϕ(a)=ϕ(b)⇒fa=fb⇒∀x∈S(a*x=b*x)⇒a*e=b*e⇒a=b,ϕ为单射令T=ϕ(S)，则T⊆SS,且ϕ:S→T为双射，≅实例例6S=Z3={0,1,2}，独异