最新二、半群和独异点、群与子群.PPT课件.ppt

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1、二、半群和独异点、群与子群.例设集合Sk={x

2、x∈I∧x≥k}，k≥0，那么是一个半群吗？（其中+是普通加法运算）分析因为加法运算在Sk上是封闭的，并且该运算可结合，所以是一个半群。若k＜0，则运算+在Sk上是不封闭的。？代数系统是半群吗？呢？注意定理设是一个半群，B⊆S且*在B上是封闭的，那末也是一个半群。通常称是半群的子半群。证明因为*在S上是可结合的，而B⊆S所以*在B上也是可结合的，又*在B上是封闭的，因

3、此，也是一个半群。例代数系统<[0,1],×>，<[0,1),×>，都是的子半群。结合性是可继承的。群定义设一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上的一个二元运算，如果1）运算*是封闭的。2）运算*是可结合的。3）存在幺元e。4）对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1。则称代数系统为群。{群}{独异点}{半群}{广群}有限群定义设是一个群。如果G是有限集，那末称为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为

4、G

5、；

6、如果G是无限集，则称为无限群。例，都是群。考察如下代数系统是否构成群，，？定理群中不可能有零元。证明当群的阶为1时，它的唯一元素视为幺元。设

7、G

8、>1且群有零元θ。那末群中任何元素x∈G，都有x*θ=θ*x=θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与是群相矛盾。定理设是一个群，对于a,b∈G,必存在唯一的x∈G,使得a*x=b.证明1）存在2）唯一设a的逆元是a-1,令x=a-1*b则a*x=a*(a

9、-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b若另有一x1,满足a*x1=b则a-1*(a*x1)=a-1*b即x1=a-1*b定理设是一个群，对于任意的a,b,c∈G，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a,则必有b=c。（消去律）证明设a*b=a*c，且a的逆元是a-1，则有a-1*(a*b)=a-1*(a*c)(a-1*a)*b=(a-1*a)*ce*b=e*cb=c当b*a=c*a时，可同样证得b=c。定义设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。定理群的运

10、算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。证明见书Ｐ193等幂元证明因为e*e=e，所以e是等幂元。假设存在a∈A,a≠e且a*a=a则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e与假设a≠e相矛盾。定义代数系统中，如果存在a∈G，有a*a=a，则称a为等幂元。定理在群中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。子群定义设是一个群，S是G的非空子集，如果也构成群，则称是的一个子群。定理设是一个群，

11、是的一个子群，那末，中的幺元e必定也是中的幺元。证明设中的幺元为e1，对于任一x∈SG，必有e1*x=x=e*x由消去律可知，e1=e。平凡子群定义设是一个群，是的子群，如果S={e}，或者S=G，则称是的平凡子群。例是一个群，设IE={x

12、x=2n,n∈I}，证明是的一个子群。分析1）+在IE上封闭。2）+在IE上可结合。3）有幺元。4）IE中的每个元素都有逆元。

13、定理设是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那末只要运算*在B上封闭，必定是的子群。证明设e是中幺元，b是B中的任一个元素。若*在B上封闭，则元素b2=b*b,b3=b2*b,…都在B中。由于B是有限集，所以必存在正整数i和j，不妨假设i中的幺元(bi=bi*bj-i=bi*e)，且这个幺元也在子集B中。如果j-i>1，那末由bj-i=b*bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元

14、，且bj-i-1∈B；如果j-i=1，那末由bi=bi*b可知b就是幺元，而幺元是以自身为逆元的。因此，是的一个子群。当B不是有限集则结论不成立：为群，而不为群，虽然＋在自然数上是封闭的。定理设是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1∈S，则是的子群。证明1）证明G中的幺元e也是S中的幺元。任取S中的元素a∈SG，所以a*a-1=e∈S且a*e=e*a=a,即e也是S中的幺