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1、科技信息高校理科研究矩阵初等变换应用举例南京邮电大学理学院付春尧［摘要］本文介绍了矩阵初等变换的基本概念及性质，举例阐述了矩阵初等变换在求多项式最大公因式、二次型标准形、判断向量组的等价性三方面的应用。［关键词］初等变换最大公因式二次型标准形向量组等价1.引言因为(x2-2)(x3-2x)，故x2-2=(f(x),g(x))，矩阵初等变换是贯穿线性代数教学活动始末的重要概念，也是解且x2-2=(-x-1)f(x)+(x+2)g(x)。决线性代数诸多问题的重要工具，在线性代数中有着举足轻重的作用3.2利用初等变换求二次型的标准形和十分广泛的应用。矩阵初等变换被普遍地应用于以
2、下方面：求矩阵的命题3.任意给定实二次型f=xTAx总有正交变换x=Cy使f化为标逆矩阵、求矩阵的秩、向量组的秩，以及求解线性方程组等。本文举例阐准型[1]述了初等变换在求多项式的最大公因式、二次型标准形和判断两个向222f=λy+λy+…+λy1122nn量组是否等价三方面的应用。其中λ,λ,…,λ是二次型f的矩阵A的n个特征值。2.矩阵初等变换12n证明：要使二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Cy化成标准形，也矩阵初等变换包括矩阵初等行变换和矩阵初等列变换。TTT222初等行变换是指对于数域F上的矩阵A=(aij)m×n作以下三种类型变就是使xAx=y(CAC)y
3、=k1y1+k2y2+…+knyn[1]换：0k00y0010010(1)交换矩阵的两行（交换第i,j两行，记作r圮r）；0000ij0k200y20=(y,y,…,y)0000(2)以非零数k乘以矩阵的某一行（以k乘第i行，记作kr）；i12n0埙000000…00000(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上（把第j行的k倍加到第i0k00y00n00n0行上，记作ri+kr）j。从矩阵角度来说就是寻求一个可逆阵C，使得CTAC为对角矩阵，即初等列变换是指以下三种变换：0k0010(1)交换矩阵的两列（交换第i,j两列，记作c圮c）；00ij0k20CTAC=00(2)
4、以非零数k乘以矩阵的某一列（以k乘第i列，记作kc）；i0埙00000(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上（把第j列的k倍加到第i0k00n0列上，记作ci+kc）j。此时实对称矩阵A与对角矩阵合同。对矩阵A施行一次初等行变换，相当于给A左乘一个可逆矩阵；由文献[1]第七章定理5知，对实对称矩阵A总有正交矩阵C使对A施行一次初等列变换，相当于给A右乘一个可逆矩阵。矩阵的初0λ0010等变换不改变矩阵的秩。如果一个矩阵A经初等变换化为B，那么A与000λ20CTAC=C-1AC=00B等价。000埙03.矩阵初等变换应用举例00000λn03.1利用初等变换求多项式的最大
5、公因式其中λ,λ,…,λ是A的n个特征值。12n求多项式的最大公因式，一般采用辗转相除法和分解法，还可用初由以上分析知，为求矩阵C，只要对（An,In）进行初等行变换，然后等变换的方法来求解。按前面所进行的行变换再对矩阵进行相应的列变换，直至矩阵A化为f1(x)0对角阵，最后得到(D,CT)，其中D=diag(λ,λ,…,λ)为对角矩阵，C为将二命题1.设f1(x),…,fn(x)∈P(x)，令A(x)=埙埙埙，经初等变换得12n0fn(x)次型化为标准形的正交矩阵。d11(x)…d1n(x)化二次型为标准型，一般采用的是正交变换法或配方法，这两种方A1(x)=0…埙…0
6、，其中，d11(x)dij(x),i,j=1,2,…,n法理论性强，但运算量较大。对于有些二次型，用初等变换的方法将其dn1(x)…dnn(x)化为标准形会更简便快捷。下面举例进行说明。则d11(x)=(f1(x),…,fn(x))。例2.化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准型。命题2.设f1(x),…,fn(x)∈P(x)，令（其中A(x)去掉第一行则为单位矩011阵）解：f(x1,x2,x3)的矩阵为A=010-30，对(AI)施行初等变换如0f1(x)f2(x)…fn(x)01-3000010…00A(x)=00，经过初等列变换得
7、到下：000…………001110011-21100000000…0010-3010r+r10-3010c+c0001020001020g1(x)…gi(x)…gn(x)01-300011-300010C11(x)…C1i(x)…C1n(x)021-2110A1(x)=其中，gi(x)gj(x),j=1,2,…,n0…………0010-301000Cn1(x)…Cni(x)…Cnn(x)0-2-30001则gi(x)=(f1(x),…,fn(x))021-21100020011000000且g(x)=C(x)f(x)+C(x)f(
