三次函数的“对称美”-论文.pdf

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1、·教育研究·三次函数的“对称美”福建省闽侯第三中学林佳榕【摘要】任何一个三次函数都有对称中心，三次函数的对称中心的横坐标处的二阶导数为零。【关键词】三次函数对称中心二阶导数22高中阶段研究的函数一般最高次不超过三次，而三次函数(2)ba12cb4(3ac)研究较多的有单调性、极值、闭区间内的最值、切线、零点问a>0a<0题等等，本文就对三次函数的对称性作一些简单的探究和应用，0000挖掘三次函数的“对称美”。【结论一】：任何一个三次函数f()x图32像fx()axbxcxda(0)都有对称中心。【结论二】：记函数yfx()的导

2、数为yfx()，在上图中的蓝色图像，对称中心即为点(,()xfx)和点11yfx()的导数为yfx()，若方程f()x=0的实数解为(,()xfx)的中点；22x0，则点(,()x00fx)即为函数yfx()的对称中心。在上图中的红色图像，对称中心即为点(,()xfx)。003以下给出证明：我们知道，函数f()xaxbx是奇函【结论三】：函数yfx()的图像本身关于点(m，n)对称，数，故其对称中心是点（0，0），则f()xfmxn(2)2函数3f(xa)()()xmbxm的对称中心是点特别地，函数yfx()的图像本身关于

3、点(0，0)对称，则（-m，0），fx()fx()0。函数3f(xa)()()xmbxmn的对称中心是【例1】已知函数fx()(x1)(x1)(x3)，求函数点（-m，n）。的对称中心点。而对于函数32f()xaxbxcxd若能写成（法一）：展开3f(xa)()()xmpxmn的形式，则必有对称中32f()(xxxx1)(1)(3)xxx33心。2求导得f()3xxx6，再导得fx()6x6，展开令fx()0，得x1，而f(1)03f(xa)()()xmpxmn所以其对

4、称中心为点(1,0)。3223ax(33mxmxm)()pxmn（法二）：对f()x求导得23223f()3xxx6，令ax3(amx3)ampx(ampmn)fx()0求出两个极值点为xx2,03ambb3acb211令2，解得m，p，而f(2)3，f(0)3，所以点(2,3)和点3ampc3a3a3(0,3)的中点为(1,0)，即为对称中心。ampmnd3【结论四】：函数f()(xxaxbxc)()()，其对称中心为29babcnd2点(,abcfabc

5、())。27a即证明：ba32cbbba23f(x9)bc()xaxb()()xaxc()()xbxc()323f(xa)xbxcxda()x()xd23332aaaa7f()xx(2abx)(2acx)(2bcx)62ab可看作是由3个单位，再向上平yaxbx向左平移3a令fx()0得xabc，所以函数f()x的对称29b3abc中心为点(,abcfabc())。移d个单位得到的图像，而227a【例2】已知函数fx()11x32x3x51，332120

6、x.5bba29bc，故函数f()x的对称中心为点fd()2求1232010的值。32aa7fff()()()f()bb，2011201120112011(,f())33aa（解析）：构造两个函数gx()11x32x3x5，而用导数我们知道，f()xaxb32xcxd的导函321221，数是f()3xaxb2xc，再求导可得二阶导函数hx()x0.5f()6xaxb2，令fx()0得：xb，此即为对则f()xg()xh()x，分别求函数g()x和hx()的对3a称中心：称中心的横坐标。另外我

7、们用导数法探究三次函数的简图可知：（下转第215页）其导函数f()3xaxb22xc为二次函数，其220·教育研究·等出现频率过高，与期待的有出入而造成的“失衡现象”。韩礼随着叙事的进展，作者分别在3处使用了I(kept)waitingfor(to德认为，读者对不同语法和词汇形式的相对频率会是敏感的，see)Jesus这一复产生节奏，暗示了“我”一定要亲眼见到耶稣它是“意义潜势”的一个方面。如果说一个作品、一个作家或的坚持与执拗；同时，执拗的结果与“我”最终没有看到耶稣、一个时代有可识别的文体的话，其可区别性归根结底是可以用幻想的破灭，形成强烈反差，嘲弄了

8、在“我”看