帕斯卡定理及其应用

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1、2010年第3期5帕斯卡定理及其应用沈文选(湖南师范大学数学奥林匹克研究所，410081)中圈分类号：0123．1文献标识码：A文章编号：1005-6416(2010)03-0005一o5(本讲适合高中)当六边形变为帕斯卡定理设六边形ABCDEF内接△A(日)C(D)E(F)于圆(与顶点次序无关，即ABCDEF无需为时，三组边AB、CD、凸六边形)，直线AB与DE交于点，直线EF变为点，如图3，结CD与FA交于点z，直线EF与BC交于点论仍成立．此时，三点则、y、z三点共线．所共的线称为勒穆瓦将直线XYZ称做帕斯卡线．纳(Lemoine)线．在此定理中

2、，当内接于圆的六边形下面从四个方面列ABCDEF的六个顶点改变字母顺序，两两取例子．对边AB与DE、BC与EF、CD与AF共有601已知六点共圆种不同的情形，相应有60条帕斯卡线．当六边形中有两个顶点重合，即对于内接例1如图4，过于圆的五边形，亦有结论成立．在圆内接五边△ABC的顶点A、B、形(B)CDEF中，点c各作一直线使之交A(与B重合)处的切于一点P，而分别交线与DE的交点X、BC△ABC的外接圆于与FE的交点Y、CD与A、B、C．又在外接AF的交点z三点共圆上任取_点Q，则QA、QB、Qc与BC、图4线，如图1．当六边形变为四图lCA、AB对

3、应的交点、z、y三点共线．边形AB(c)DE(F)或A(B)C(D)等时，证一明在圆内接六边簿形BCAAQB中，其如图2，结论仍成立．三组对边BC与AQ、CA与QB、AA与曰B的交点分别为、Z、P．由帕斯卡定理知P、X、Z三点共线．在圆内接六边形CBAAQC中，其三组对边CB与AQ、BA与QC、AA与CC的交点分别为、Y、P．由帕斯卡定理知P、Y、X三点共线．故、Z、y三点共线．图2例2已知△ABC为确定的三角形，A、收稿日期：2009—11—23，、C分别为边BC、CA、AB的中点，P为6中等数学△Ac外接圆上的动点，PAPB、Pc分别△ABC的外接

4、圆分与△ABC的外接圆交于另外的点、、c．别切于点D、E、F，若A、B、C、A、、C是不同的点，则直线AA、设、Ⅳ分别为弧BB、CC交出一个三角形．证明：这个三角形^^CAB、AC的中点，，为的面积不依赖于点l】AABC的内心．(第48届IMO预选题)此时，点F为圆证明如图5，设A。、。、是直线、与AABC的外接图6BB、CC交出的三角形的三个顶点．圆的位似中心，且过的切线平行于BA，因下面证明：而，、为一组对应点．于是，F、D、三点s共线(也可设直线FD交△ABC的外接圆于、：，'一⋯L．’点，则证得朋为弧BA的中点)．由此可得同理，F、E、』v三点

5、共线．△A。c0的面积而BN、CM分别为ABC、的平不依赖于点P的分线，则知其交点为司选取．图5注意到圆内接六边形ABNFMC，由帕斯理卡定理知D、，、E三点共线．注意到图中的圆内接六边形ABCC，一，记圆C。的圆心为0。．由帕斯卡定理知三组对边AB与CP、BC与由DE上A，，有、cC与以的交点C、A、B0三点共线，r。AO。AO。AD1即知点在△ABC的中位线AC。上。—rAI—ADAI一2A‘～r同理，点A。、分别在直线B。C、A。B，c0上上．由4c／／c1Al△BoC0Alc／?z~ACoB1。风CoA1Co’AC0B1C0‘一tan导．tan

6、导由tA同理，由BC∥C：B1A1CoBCoan一=．BCtan．an¨a“从而，BoCoBCo：考日。B∥／L4。．啪害·tan譬+tan詈n导+故s△0c0：sc。=寺Is△佃c．协导岫2构造六点共圆故++rrr例3设与△ABC的外接圆内切并与边AB、AC相切的圆为C。，记r。为圆C。的半径，．===2A+’。===2B+。—2Cc0c0co类似地定义r^、，r是△ABC的内切圆半径．=3+tan2A+tan2B+tan2C证明：r。++rc≥4r．L(第20届伊朗数学奥林匹克(第三轮))=3+tanA·tan证明如图6，设圆与AB、AC、导+ta

7、n导．tan+2010年第3期7啪啪导虿-。胁+吉【(【A—一t舳罢)J+凡又嚣RD—=s孵一=DF·DT．③由式①、②、③知-6u，’-~F。=1，即F是弧cD的(lt协an导-tanC)+(ltan詈一t锄an拿)J】J≥4．中点．因此，r。+r6+r≥4r‘显然，△BCD的内心，为CE与BF的例4凸四边形ABCD内接于圆厂，与边交点．BC相交的一个圆与圆Jr’内切，且分另Ⅱ与注意到圆内接六边形ETFBDC，由帕斯卡BD、AC切于点P、Q．求证：△ABC的内心与定理知P、，、尺三点共线．△DBC的内心皆在直线PQ上．所以，△BDC的内心，在JpQ上

8、．(2007，国家集训队测试)同理，△ABC的内心，也在PQ上．证明如图7，设圆厂的圆心为0，