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1、2010年第3期5帕斯卡定理及其应用沈文选(湖南师范大学数学奥林匹克研究所,410081)中图分类号:O123.1文献标识码:A文章编号:1005-6416(2010)03-0005-05(本讲适合高中)当六边形变为帕斯卡定理设六边形ABCDEF内接A(B)C(D)E(F)于圆(与顶点次序无关,即ABCDEF无需为时,三组边AB、CD、凸六边形),直线AB与DE交于点X,直线EF变为点,如图3,结CD与FA交于点Z,直线EF与BC交于点论仍成立.此时,三点Y.则X、Y、Z三点共线.
2、所共的线称为勒穆瓦将直线XYZ称做帕斯卡线.纳(Lemoine)线.图3在此定理中,当内接于圆的六边形下面从四个方面列举帕斯卡定理应用的ABCDEF的六个顶点改变字母顺序,两两取例子.对边AB与DE、BC与EF、CD与AF共有601已知六点共圆种不同的情形,相应有60条帕斯卡线.例1如图4,当六边形中有两个顶点重合,即对于内接过ABC的顶点A、于圆的五边形,亦有结论成立.在圆内接五边B、C各作一直线使形A(B)CDEF中,点之交于一点P,而分A(与B重合)处的切别交ABC的外接线与DE的交
3、点X、圆于A、B、C.又在BC与FE的交点Y、外接圆上任取一点CD与AF的交点Z图4Q,则QA、QB、QC三点共线,如图1.图1与BC、CA、AB对应的交点X、Z、Y三点共线.当六边形变为证明在圆内接六边形BCAAQB中,其四边形AB(C)DE(F)或A(B)C(D)EF等三组对边BC与AQ、CA与QB、AA与BB时,如图2,结论仍成立.的交点分别为X、Z、P.由帕斯卡定理知P、X、Z三点共线.在圆内接六边形CBAAQC中,其三组对边CB与AQ、BA与QC、AA与CC的交点分别为X、Y、P.由帕
4、斯卡定理知P、Y、X三点共线.故X、Z、Y三点共线.图2例2已知ABC为确定的三角形,A1、收稿日期:2009-11-23B1、C1分别为边BC、CA、AB的中点,P为6中等数学ABC外接圆上的动点,PA1、PB1、PC1分别的外接圆分别切于与ABC的外接圆交于另外的点A、B、C.点D、E、F,设M、N若A、B、C、A、B、C是不同的点,则直线AA、分别为弧AB、AC的BB、CC交出一个三角形.证明:这个三角形中点,I为ABC的[1]的面积不依赖于点P.内心.(第48届IMO预选题)
5、此时,点F为证明如图5,设A0、B0、C0是直线AA、图6圆Ca与ABC的BB、CC交出的三角形的三个顶点.外接圆的位似中心,且过M的切线平行于下面证明:BA,因而,M、D为一组对应点.于是,F、D、MSABC000三点共线(也可设直线FD交ABC的外接1=2SABC.圆于点M,则证得M为弧BA的中点).由此可得同理,F、E、N三点共线.A0B0C0的面积而BN、CM分别为ABC、BCA的平分线,则知其交点为I.不依赖于点P的选取.图5注意到圆内接六边形ABNFMC,由帕斯卡定理知D、
6、I、E三点共线.注意到图中的圆内接六边形ABCCPA,记圆Ca的圆心为Oa.由帕斯卡定理知三组对边AB与CP、BC与由DEAI,有PA、CC与AA的交点C1、A1、B0三点共线,raAOaAOaAD1即知点B0在ABC的中位线A1C1上.==#=.rAIADAI2A同理,点A0、C0分别在直线B1C1、A1B1cos2上.rb1rc1同理,=,=.由AC!C1A1B0C0A1AC0B1r2Br2CcoscosB0C0A1C022=.AC0B1C0BC1-tan#tanA122A1C0BC
7、0由tan==同理,由BC!C1B1=.2B+CBCB1C0A0C0tantan+tan222B0C0BC0从而,AC=B0B!AA0.tanA#tanB+tanB#tanC+0A0C022221故SABC=SABC=SABC.CA00002tan#tan=1.22rarbrc2构造六点共圆故++rrr例3设与ABC的外接圆内切并与边111=++AB、AC相切的圆为Ca,记ra为圆Ca的半径,cos2Acos2Bcos2C222类似地定义rb、rc,r是ABC的内切圆半径.[2
8、]2A2B2C证明:ra+rb+rc∀4r.=3+tan+tan+tan222(第20届伊朗数学奥林匹克(第三轮))ABBC=3+tan#tan+tan#tan+证明如图6,设圆Ca与AB、AC、ABC22222010年第3期72CA1ABCRSCFTCFCTtan#tan+tan-tan+又==#.∋22222RDSDFTDFDT22BCCACFtan-tan+tan-tan由式%、&、∋知=1,即F是弧CD的2222DF∀4.中点.因此,ra+rb+rc∀4r.显然,
