利用空间向量求空间角-论文.pdf

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1、·解题秘笈·2014年第8期解：由题意得，以A为原点建立平面直角坐标系(如图2所示)，A(0，0，0)，8(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1---—0利用空间向量求空间角(2，0，3)，C。(0，4，3)．AD：(1，2，一·—-——43)，A1C1=(0，4，0)．设平面ACD的一个法向量为山东省无棣县第二高级中学陈德华n=(，Y，)．图2{。众所周知，解决立体几何问题，我们常用的方法是利·用空间向量来解决。线线角、线面角、面面角本质上是对直．．x=3z，y=O．令z=l，得x=3。n=(3，0，1)，设直线DB

2、与平面ACD所成角为0线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重·‘要，这三种空间角都可转化为平面角来计算，可进一步转．DB1=(1，一2，3)化为向量的夹角求解，所以在“空间向量与立体几何”的教．in0=lCOS(．)丝一：．．．学中，我们不能只关注向量计算，而是应将研究方法定位、／10×、／14j)在综合运用空间想象、逻辑推理和向量计算。三、二面角一①二面角的取值范围是[0，丌]．、两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角0的取值范围是②二面角的向量求法：(i)若AB、CD分别是二面角一l的两个面内与f0，孚I．棱1垂直的异面直线，则二面

3、角的大小就是向量AB与CD②向量求法：设直线n、b的方向的夹角(如图3)．向量为8、b，其夹角为，则有cos0=l(ii)设n、：分别是二面角—1]B的两个面ol的cos~1．法向量，则向量n与n：的夹角(或其补角)的大小就是二例1：如图1所示，在直三棱柱面角的平面角的大小(如图4、5)．A1B1C1-ABC中，ABJ_AC，AB-AC=2，A=4，点D是BC的中点．求异面直图1线A日与c所成角的余弦值。解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，c(o，2，0)，D(1，1，0)，A(0，O，4)，图3图4图5C

4、(0，2，4)，所以AB=(2，0，一4)，C。D=(1，一1，一4)例3：(如图1)在直三棱柱ABC-A曰c中，AB上AC，，)尚『AlBJIC1DI丽Vu1×8Vl6AB=AC=2，A4=4，点D是BC的中点．求平面ADC与平面ABA所成二面角的正弦值．3vT0-—，所以异面直线AB与cD所成角的余弦值为解：由例1可得因为AD=(1，1，0)，AC。=(0，2，4)，设3平面ADC1的法向量为nl：(X，Y，z)，所以nl·AD=0，nl·ACl涪数外学—‘=0，即x+y=0且y+2z=0，取z=l，得x=2，y一2，二、直线与平面所成的角所以n=(2

5、，一2，1)是平面ADC的一个法向量．①范围：直线和平面所成的角0的取值范围是取平面AA的一个法向量为1"1,2=(0，1，0)，设平面『0，手]．ADC与平面ABA所成二面角的大小为0．自lc0s2②向量求法：设直线z的方向向量为a，平面的法向量，得sin0=为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有v3-sin0=lcos~pl或cos0=sin~v．．因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦例2：三棱柱ABc-AC在如图所示的空间直角坐值为单．标系中，已知AB=2，AC=4，A：3．D是BC的中点，求直线DB与平面。cD所成角的正弦值；

6、作者简介：陈德华(1979一)，女，山东无棣人，一级教师，研究方向：数学教学。