量子力学导论习题解答.pdf

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1、Letlifebebeautifullikesummerflowers,anddeathlikeautumnleaves!第一章量子力学的诞生∞,x<0,x>a1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，V(x)=0,0

2、量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有∫p⋅dx=nh,(n=1,2,3,3)xxx即p⋅2a=nh（2a：一来一回为一个周期）xx∴p=nh/2a,xx同理可得，p=nh/2b,p=nh/2c,yyzzn,n,n=1,2,3,3xyz222n221222pnxynz粒子能量E=(p+p+p)=++n,n,n=1,2,3,3n

3、xnynz2mxyz2ma2b2c2xyz1221.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)=mωx中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示：利用∫p⋅dx=nh,n=1,2,3,p=2m[E−V(x)]V(x)解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为x≤a（1）122其中a由下式决定：EVx=()=maω。−a0axxa=2似水骄阳1Letlifebebeautifullikesummerflowers,anddeathlikeautumnleaves!2由此得a=2E/mω，（2）x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件+a+a122222∫p⋅

4、dx=2∫2m(E−mωx)dx=2mω∫a−xdx2−a−a2p2=2mωa⋅=mωpa=nh22nh2n得a==（3）mωpmω代入（2），解出E=nω,n=1,2,3,3（4）n222u22au积分公式：∫a−udu=a−u+arcsin+c22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。2p2提示：利用pdϕ=nh,n=1,2,3,p是平面转子的角动量。转子的能量E=p/2I。∫ϕϕϕ0解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。.它的角动量p=Iϕ（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件ϕϕ2p∫pdϕ=2pp=mh,m=1,2,3,3ϕϕ0∴p=m

5、h，ϕ222因而平面转子的能量E=p/2I=m/2I，m=1,2,3,3mϕ第二章波函数与Schrödinger方程2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。3（a）证明粒子的能量平均值为E=∫dr⋅ω，2**ω=∇+ψψψψV（能量密度）2m∂ω（b）证明能量守恒公式+∇⋅=s0∂t2*∂ψ∂ψ*s=−∇ψ+∇ψ（能流密度）2m∂t∂t证：（a）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）2*23E=∫ψ−∇+Vψdr=T+V（1）2m似水骄阳2Letlifebebeautifullikesummerflowers,anddea

6、thlikeautumnleaves!3*V=∫drψVψ（势能平均值）（2）23*2T=∫drψ−∇ψ(�����)2m2∫3[(*)(*)()]=−dr∇⋅ψ∇ψ−∇ψ⋅∇ψ2m其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此23*T=∫dr∇ψ⋅∇ψ（3）2m2**结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度ω=∇ψψψψ⋅∇+V,（4）2m3且能量平均值E=∫dr⋅ω。（b）由（4）式，得2∂ω=∇∂*ψ⋅∇+∇ψψ**⋅∇∂ψψ+∂*VVψψ+∂ψ∂tmt2∂∂∂tt∂t2=∇⋅

7、∂*ψψψψ∇+∇−ψ∂ψ*∂*∇+∇+2ψ∂2*ψ∂*ψVVψψ+*∂ψ2mtt∂∂∂∂tt∂t∂t22∂*ψψ2∂2*=−∇⋅+sVV−∇+ψψ+−∇+∂∂tm22tm∂*∂ψψ*=−∇⋅+sEψ+ψ∂∂tt∂=−∇⋅s+Eρ（ρ：几率密度）∂t=−∇⋅s（定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）∂ω所以+∇⋅=s0。∂t2.2考虑单粒子的Schrödinger方程2∂2iψ(r,t)=−∇ψ(r,t)+[V(r)+iV(r)]ψ(r,t)（1）12∂t