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《线性代数B期末试卷及问题详解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设，则＝ .2.为阶方阵,且.3．设方阵B为三阶非零矩阵，且AB=O，则.4.设向量组线性无关，向量b不能由它们线性表示，则向量组b的秩为 .5．设A为实对称阵，且
2、A
3、≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=．６．设的两组基为，，；T，，则由基到基的过渡矩阵为.得分二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[].(A)Dn中有两行元素对
4、应成比例； (B)Dn中各行元素之和为零；(C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组a，b，g线性无关，a，b，s线性相关，则[].(A)a必可由b，g，s线性表示；(B)b必可由a，g，s线性表示；(C)s必可由b，g，a线性表示；(D)g必可由b，a，s线性表示.３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[].(A)；(B)；(C)；(D)．４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[].(A)α1，α2，α3-α1
5、；(B)α1，α1+α2，α1+α3；(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1；(D)α1-α2，α2-α3，α3-α1.５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则A的秩Ｒ()=[].(A)1；(B)2；(C)3；(D)4．６．实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是[].(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；(C)
6、A
7、>0；(D)R(A)=n.得分三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求的值.２.求向量组,,,的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.３.设A、P均为3阶矩阵，且若P=(α1,α2,α3),Q=
8、(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．4．设是阶实对称矩阵，，若，求.5.设矩阵相似于对角矩阵L，求a.得分四、（本题满分10分）对线性方程组(1)若两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若,(b0)，且已知方程的两个解,，试给出方程组的通解．得分五、（本题满分8分）设二次曲面方程（）经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q.得分六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案2009年6月22日一二三四五六
9、总分得分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设，则＝ 2 .2.为阶方阵,且0.3．设方阵B为三阶非零矩阵，且AB=O，则-3.4.设向量组线性无关，向量b不能由它们线性表示，则向量组b的秩为 m+1 .5．设A为实对称阵，且
10、A
11、≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=______．６．设的两组基为，，；,，则由基到基的过渡矩阵P=．得分二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设为n阶行列式，则＝0的必要条件是[ D ].(A)中有两行元素对应成比例； (B)中各行元素之和为零；(C)中有一行元素
12、全为零；(D)以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组a，b，g线性无关，a，b，s线性相关，则[C].(A)a必可由b，g，s线性表示.(B)b必可由a，g，s线性表示.(C)s必可由b，g，a线性表示.(D)g必可由b，a，s线性表示.３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[B].(A)；(B)；(C)；(D)．４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[D]．（A）α1，α2，α3-α1；（B）α1，α1+α2，α1+α3；（C）α1+α2，α2+
13、α3，α3+α1；（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.５．若矩阵有一个3阶子式不为0，则[C].（A）Ｒ()=1；（B）Ｒ()=2；（C）Ｒ()=3；（D）Ｒ()=4．６．实二次型f＝x¢Ax为正定的充分必要条件是[A]．(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；(C)
14、A
15、>0；(D)R(A)=n.得分三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求的值解：２.求向量组,,,的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组，，.３.设A、P均为3阶矩阵，且若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3)
16、,求QTAQ．解：由于Q=(α1+α2,α2,α3)=(α1,α2
