标准正态分布.ppt

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1、第四章常用概率分布韩国君教授1第一节正态分布NormalDistribution2定义若连续型随机变量x的概率分布密度函数为其中μ为平均数,σ2为方差,则称随机变量x服从正态分布,记为x~N(μ,σ2)。相应的概率分布函数为正态分布(normaldistribution)3正态分布正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线,对称轴为x=μ;f(x)在x=μ处达到极大,极大值;f(x)是非负函数,以x轴为渐近线,分布从-∞至+∞曲线在x=μ±σ处各有一个拐点,即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)区间上是下凸的,在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的4正态分布正态分布有两

2、个参数,即平均数μ和标准差σ5正态分布分布密度曲线与横轴所夹的面积为1,6标准正态分布(standardnormaldistribution)μ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布(standardnormaldistribution)随机变量u服从标准正态分布,记作u~N(0,1)7标准正态分布对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x,都可以通过标准化变换u=(x-μ)/σ将其变换为服从标准正态分布的随机变量uu称为标准正态变量或标准正态离差(standardnormaldeviate)8三、正态分布的概率计算设u服从标准正态分布,则u在[u1,u2)何

3、内取值的概率为:=Φ(u2)-Φ(u1)而Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。9标准正态分布正态分布的对称性可推出下列关系式,再借助附表1,便能很方便地计算有关概率:P(0≤u<u1)=Φ(u1)-0.5P(u≥u1)=Φ(-u1)P(|u|≥u1)=2Φ(-u1)P(|u|<u1==1-2Φ(-u1)P(u1≤u<u2)=Φ(u2)-Φ(u1)10计算已知u~N(0,1),试求:(1)P(u<-1.64)=?(2)P(u≥2.58)=?(3)P(|u|≥2.56)=?(4)P(0.34≤u<1.53)=?11计算查附表1得:(1)P(u<-1.64)=0.0505

4、0(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940(3)P(|u|≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468(4)P(0.34≤u<1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.3038912关于标准正态分布,以下几种概率应当熟记:P(-1≤u<1)=0.6826P(-2≤u<2)=0.9545P(-3≤u<3)=0.9973P(-1.96≤u<1.96)=0.95P(-2.58≤u<2.58)=0.9913计算u变量在上述区间以外取值的概率分别为:P(|u|≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤

5、u<1)=1-0.6826=0.3174P(|u|≥2)=2Φ(-2)=1-P(-2≤u<2)=1-0.9545=0.0455P(|u|≥3)=1-0.9973=0.0027P(|u|≥1.96)=1-0.95=0.05P(|u|≥2.58)=1-0.99=0.0114由表4—2可见,实际频率与理论概率相当接近,说明126头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布,从而可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的15双侧概率和单侧概率随机变量x落在平均数μ加减不同倍数标准差σ区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率),记作α。对应于双侧概率可以求得随机变量x小于μ-

6、kσ或大于μ+kσ的概率,称为单侧概率(一尾概率),记作α/2。例如,x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的双侧概率为0.05,而单侧概率为0.025。P(x<μ-1.96σ)=P(x>μ+1.96σ)=0.02516x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的双侧概率为0.01,而单侧概率P(x<μ-2.58σ)=P(x>μ+2.58σ)=0.00517第二节卡方分布Chi-squareDistribution18定义如果随机变量zi(i=1,...,n)为相互独立,都服从标准正态分布,则定义:,i=1,...,n变量2服从自由度等于n卡方分布(chi–

7、squaredistribution)。19卡方分布曲线图4-1不同自由度下的2分布图4-22分布的上侧和下侧分位数示意图20卡方分布特征卡方分布于区间[0,+),并且呈反J形的偏斜分布。卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大,当自由度等于1时,曲线以纵轴为渐近线。随自由度的增大,卡方分丰曲线渐趋左右对称,当df>30时,卡方分布已接近正态分布。21第三节t分布22定义如果z~N(0,1),2服从自由度等于n的卡方分布,则为自由度为n的t分布t分布的形状与正态分布相似23t分布不同自由度下的t分布t分布双侧分位数示意图24t分布密度曲线特点t分

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