正弦定理、余弦定理公开课.ppt

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1、正弦定理、余弦定理金东方高三数学组复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。变型：a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosCcosA=cosB=cosC=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角。所以CD=asinB=bsinA,即同理可得DCabAB图1过点C作CD⊥AB于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,（法一）且仿上可得D若三角形是钝角三角形,以上等式仍

2、然成立吗?此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2（法二）OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,向量的数量积，为向量a与b的夹角．如何构造向量及等式？jACB在锐角中，过A作单位向量j垂直于，则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式怎样建立三角形中边和角间的关系？即同理，过C作单位向量j垂直于，可得在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？jACB在钝角中，过A作单位向量j垂直于，则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式.同样可证得：ABC余弦定理的证明证明：在三角形ABC中，AB、BC、C

3、A的长分别为c,a,b.1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______________课前热身3.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则A-19B19C-38D38利用正余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝30°，则此三角形解的情况为________．已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况：a

4、理变式2：在中，已知，则角A为，角B为．解：由余弦定理推论，，由此得，则。判断三角形的形状【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a＝ccosB，且b＝csinA，试判断△ABC的形状．点评判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状

5、；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【变式练习】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，请判断△ABC的形状．正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用点评本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用．应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的．在解三

6、角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法．在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．