《线性代数》课后习题答案.pdf

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1、.第一章行列式习题1.11.证明：（1）首先证明Q(3)是数域。因为QQ(3)，所以Q(3)中至少含有两个复数。任给两个复数ab3,ab3Q(3)，我们有1122(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3。(a1b13)(a2b23)(a1a23b1b2)(b1a2a1b2)3因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3Q(3)(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3Q(3)。(a1b13)

2、(a2b23)(a1a23b1b2)(b1a2a1b2)3Q(3)如果a2b230，则必有a2,b2不同时为零，从而a2b230。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以a1b13(a1b13)(a2b23)(a1a23b1b2)(b1a2a1b2)3Q(3)2222a2b23(a2b23)(a2b23)a23b2a23b2。综上所述，我们有Q(3)是数域。（2）类似可证明Q(p)是数域，这儿p是一个素数。（3）下面证明：若p,q为互异素数，则Q(p)Q(q)。（反证法）如果Q(p)Q(q)，则a,bQpabq，从而有222p(

3、p)(aqb)2abq。由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有2abq0。所以有a0或b0。2如果a0，则pqb，这与p,q是互异素数矛盾。'..如果b0，则有pa，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有Q(p)Q(q)。同样可得Q(q)Q(p)。（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和之间存在无穷多个不同的数域。2.解：（1）P(1)是数域，证明略（与上面类似）。（2）Q(1)就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而(1)C(1)复数域。1（3）Z(1)不是数域，这是因为他关于

4、除法不封闭。例如Z(1)。23.证明：（1）因为F,K都是数域，所以QF,QK，从而QFK。故FK含有两个以上的复数。任给三个数a,bFK,0cFK，则有a,b,cF且a,b,cK。因为F,K是aaa数域，所以有ab,ab,F且ab,ab,K。所以ab,ab,FK。ccc所以FK是数域。（2）FK一般不是数域。例如FQ(2),KQ(3)，我们有2,3FK，但是623FK。习题1.2(234516)(312645)2.解：项a23a31a42a56a14a65的符号为(1)习题1.311L1a111L1(jjLj)ij12n1．证明：

5、根据行列式的定义=(1)a1ja2jLanj12nMMMjjLj12n11L1'..(j1j2Ljn)(1)=0。j1j2Ljn所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列，故可以得到全体n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。199819992000199819991199811C3C2C2C12．解(1)200120022003200120021200111=0；20042005200620042005120041

6、1100110000220C3C20200下三角形（2）1268=96；0330C4C103604004400811101110111011101101R2R10011R240111R3R20111（3）1011RR0101010100123101110111001100111110R4R30111上三角形1113=3；00120003abc2a2aabcabcabcR1R2R3（4）2bbca2b2bbca2b2c2ccab2c2ccab111提取公因子(abc)2bbca2b2c2ccab111R2(2b)R13(abc)0bc

7、a0=(abc)。R3(2c)R100cab7222215222215222252722215722205000C1CiRiR1（5）22722i215272200500i2,3,4,522272152272000502222715222700005'..上三角形515555535。xyxyxyyyy111213123提取每行的公因子性质43．解：（1）x2y1x2y2x2y3x1x2x3y1y2y30。x3y1x3y2x3y3y1y2y32a2a12a32a52CCCiCi1b2b12b32b543（2）左端2i4,3,2c2c1

8、2c32c5C3C22d2d12d32d52a2a1222b2b122=0=右端。2c2c1222d2d1221aaLa1aaLa12n112n11a1b1a2Lan10b10L0RiR1（3）1a1a2b2Lan100b2L0i2,