时域信号,复频域.ppt

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1、第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析4.1拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质与定理4.3拉普拉斯反变换4.4LTI系统的拉普拉斯变换分析法4.5系统函数与复频域分析法4.6连续时间系统的模拟及信号流图4.7LTI连续系统的稳定性4.1拉普拉斯变换4.1.1单边拉普拉斯变换1.单边拉氏变换定义因果信号的傅氏正、反变换为傅氏变换对于一些指数函数处理不方便,主要原因是这类函数不收敛,例如阶跃函数u(t)。为了使函数收敛，我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt，使得f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。即有f1(t)=f(t)e-σt式中,e-σt

2、为收敛（衰减）因子，且f1(t)满足绝对可积条件。则(4.1-1)令σ+jω=s，式（4.1-1）可表示为(4.1-2)F1(ω)的傅氏反变换为(4.1-3)式（4.1-3）两边同乘eσt，eσt不是ω的函数，可放入积分号里，由此得到(4.1-4)已知s=σ+jω，ds=d(σ+jω)，σ为常量，ds=jdω，代入式（4.1-4）且积分上、下限也做相应改变，式(4.1-4)可写作(4.1-5)因为e-σt的作用，式(4.1-2)与(4.1-5)是适合指数阶函数的变换。又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的因果信号，故称“单边”变换。将两式重新表示在一起，单边

3、拉氏变换定义为(4.1-6)式中称s=σ+jω为复频率，F(s)为象函数，f(t)为原函数。图4.1-1复平面象函数与原函数的关系还可以表示为(4.1-7)s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，σ是实轴，jω是虚轴，如图4.1-1所示。由以上分析，并比较式(4.1-6)与傅里叶变换对关系式，以及式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本信号元为est。虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，不需要信号满足绝对可积，但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题，这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。2.单边拉氏变换收敛区收敛区是使f(t)e

4、-σt满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。由式(4.1-3)的推导可见，因为e-σt的作用，使得f(t)e-σt在一定条件下收敛，即有(4.1-8)式中,σ0叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦σ0确定，f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。满足式(4.1-8)的函数，称为指数阶函数。这类函数若发散，借助指数函数的衰减可以被压下去。指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标σ0确定。σ0的取值与f(t)有关，具体数值由式(4.1-8)计算。以f

5、(t)随时间变化的趋势，收敛区的大致范围为:若f(t)是随时间衰减的，σ0<0，例如单边指数信号e-atu(t)（a>0）的σ0=-a，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(a)所示；f(t)是随时间不变的，σ0=0，例如u(t)、sinω0tu(t)，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示；f(t)是随时间增长的，σ0>0，例如eatu(t)（a>0）的σ0=a，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(c)所示。图4.1-2收敛区示意图当σ0<0时，收敛区包含虚轴jω，函数的傅氏变换存在；当σ0>0时收敛区不包含虚轴jω，函数的傅氏变换不存在；当σ0=0时，收敛区虽不包含虚轴

6、jω，但函数的傅氏变换存在，不过有冲激项。因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般可以不标明收敛区。4.1.3常用函数的单边拉普拉斯变换我们通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方法。1.单位阶跃函数u(t)2.t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数）3.t的正幂函数即依此类推，特别地，４.冲激函数通常　　　的拉氏变换的下限都采用０－P130表5-14.2拉普拉斯变换的性质与定理1.线性若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，则k1f1(t)+k2f2(t)k1F1(s)+k2F2(s)k1,k2为任意常数(4.2-1)证线性

7、在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。例如2.时延（移位、延时）特性若f(t)u(t)F(s)，则f(t-t0)u(t-t0)(4.2-2)证令t-t0=x，t=x+t0，代入上式得3.频率平移（s域）若f(t)F(s),则(4.2-4)4.尺度变换若f(t)F(s),则其中a>0(4.2-5)证令，代入上式得5.时域微分若f(t)F(s)，则(4.2-6)式中,f(0-)是f(t)在t=0-时的值。可以将式(4.2-6)推广到高阶导数(4.2-7)式中,f(0-)以及f(r)(0-)