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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二节方阵的特征值与特征向量内容分布图示★特征值与特征向量的概念★例1★例2★例3★例4★例5★特征值与特征向量的性质(1)★例6★特征值与特征向量的性质(2)★例7★例8★定理1★例9★例10★例11★内容小结★课堂练习★习题4-2★返回内容要点:一、特征值与特征向量定义1设A是n阶方阵,如果数和n维非零向量X使AXX成立,则称数为方阵A的特征值,非零向量X称为A的对应于特征值的特征向量（或称为A的属于特征值的特征向量）.注：1.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线
2、性方程组(EA)X0有非零解的值,即满足方程
3、EA
4、0的都是矩阵A的特征值.称关于的一元n次方程
5、EA
6、0为矩阵A的特征方程，称的一元n次多项式f()
7、EA
8、为矩阵A的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设i为方阵A的一个特征值，则由齐次线性方程组(iEA)X0可求得非零解pi，那么pi就是A的对应于特征值i的特征向量，且A的对应于特征值i的特征向量全体是方程组(iEA)X0的全体非零解。即设p,p,,p为(iEA)X0的12s基础解系，则A的对应于特征值i的特征向量全体是pk1p1k2p2ksps(k1,,ks不同时0).1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二、特征值与特征向量的性质性质1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.性质2设A(aij)是n阶矩阵，则a11a12a1nf()
10、EA
11、a21a22a2nan1an2annnnn1(1)kSnk(1)n
12、A
13、ai1iik其中Sk是A的全体k阶主子式的和.设1,2,,n是A的n个特征值，则由n次代数方程的根与系数的关系知，有(1)(2)12na11a22ann;12n
14、A
15、.其中A的全体特征值的和a11a22ann称为矩阵A的迹,记为tr(A).性质3设A(aij)是n阶矩
16、阵,如果n(1)
17、aij
18、1(i1,2,,n)j1或n(2)
19、aij
20、1(j1,2,,n)i1有一个成立,则矩阵A的所有特征值i的模小于1,即
21、i
22、1(i1,2,,n)定理1n阶矩阵A的互不相等的特征值1,,m对应的特征向量p1,p2,,pm线性无关.注：1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的;2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.例题选讲：2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯
23、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例1(讲义例1)求矩阵A31的特征值和特征向量.51211例2(讲义例2)设A020,求A的特征值与特征向量.413a00例3(讲义例3)求n阶数量矩阵A0a0的特征值与特征向量.00aa11a12a1n例4试求上三角阵A的特征值:A0a22a2n.00ann例5令A1112,则AB2333.0,B212,AB2112例6(讲义例4)试证:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.注:此例也可以叙述为：n阶矩阵A可逆它的任一特征值不为零.例7(讲义例5)设是方阵A的特征值,证明(1)2是A2的特征值;(2)当A可逆时
24、,1是A1的特征值.注：易进一步证明：若是A的特征值,则k是Ak的特征值，()是(A)的特征值，其中(x)a0xna1xn1an1xan,特别地,设特征多项式f()
25、EA
26、,则f()是f(A)的特征值,且An(aa22ann)An1(1)n
27、A
28、E0.11例8(讲义例6)设3阶矩阵A的特征值为1,1,2,求
29、A*3A2E
30、.111例9求3阶矩阵A131的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.111例10(讲义例7)设1和2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为p1和p2,证明p1p2不是A的特征向量.例11(讲义例8)正交矩阵的实特征值的绝对值为
31、1.注:A的特征值是特征方程
32、EA
33、0的根，也是
34、AE
35、0的根.A的对应特征值3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯的特征向量是齐次方程组(EA)X0的非零解，也是(AE)X0的非零解.课堂练习31的特征值和特征向量.1.求矩阵A314602.求矩阵A350的特征值与特征向量.3614
