线性代数期末复习总结.doc

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1、《线性代数与空间解析几何》小结《线性代数》部分小结:全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.√关于:①称为的标准正交基;②线性无关;③;④;⑤任意一个维向量都可以用线性表示.行列式的定义行列式的性质:①按行展开,零行为零,②等行为零,③拆项分和,④初等变换(提取因子,换行变号,倍加不变),比例为零,⑤转置相等.√行列式的计算:①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若都是方阵(不必同阶),则(拉

2、普拉斯展开式)③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线:(即:所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和)⑤范德蒙德行列式:矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作:或伴随矩阵,为中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:①:②③√方阵的幂的性质:√设的列向量为,的列向量为,则,为的解可由线性表示.即:的列向量能由的列向量线性表示,为系数矩阵.同理:的行向量能由的行向量线性表示,为系数矩阵.即:√用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对

3、角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵:分块矩阵的逆矩阵:分块对角阵相乘:,分块对角阵的伴随矩阵:√矩阵方程的解法():设法化成①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.③部分相关,则整体相关;整体无关,则部分无关.(向量个数变动)④少维无关,则多维无关;多维相关,则少维相关.(向量维数变动)①两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.②向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.③

4、向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.(相关有一被表出)向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.(无关无一被表出)④维列向量组线性相关;维列向量组线性无关.⑤若线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.(无关加一变相关,后加唯一被表出)⑥矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩,(三秩相等).行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线,线的下方全为;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这

5、些非零元所在列的其他元素都是时,称为行最简形矩阵⑦矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系;(行变不改列相关)矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.(列变不改行相关)即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘;对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.矩阵的秩如果矩阵存在不为零的阶子式,且任意阶子式均为零,则称矩阵的秩为.记作向量组的秩向量组的最大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作矩阵等价

6、经过有限次初等变换化为.记作:向量组等价和可以相互线性表示.记作:①矩阵与等价,可逆作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价矩阵与等价.②向量组可由向量组线性表示有解≤.③向量组可由向量组线性表示,且,则线性相关.(多被少表出,多的必相关)向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.(无关被表出,个数不会多)④向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价;⑤任一向量组和它的最大无关组等价.向量组的任意两个最大无关组等价.⑥向量组的最大无关组不唯一,但最大无关组所含向量个数唯一确定.⑦若两个线性无关的向量组等价

7、,则它们包含的向量个数相等.⑧设是矩阵,若,的行向量线性无关;若,的列向量线性无关,即:线性无关.√矩阵的秩的性质:①≥≤≤②③④⑤≤⑥即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若;若⑧等价标准型.⑨≤≤≤⑩:线性方程组的矩阵式向量式矩阵转置的性质:矩阵可逆的性质:伴随矩阵的性质:(无条件恒成立)线性方程组解的性质:√设为矩阵,若一定有解,当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.是的上限.√判断是的基础解系的条件:①线性无关;②都是的解;③.√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是的一个解,是的一个解线性无关√与同解(列向量个数相同)

8、,则:①它们的最大无关组相对应,从而秩相等;②它们对应的部分组有一样的线性相关性;③它们有相同的内在线性关系.√两个齐次线性线性方程组与同解.√两个非齐次线性方程组与都有解,并且同解.√矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解(左乘可逆矩阵);矩阵与的列向量组等价(

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